Что предполагает биномиальная модель
Модель требует трёх условий: число договоров n фиксировано, у каждого договора один и тот же шанс p, а договоры независимы. Тогда число случаев X распределено биномиально, и его среднее равно n·p.
Для 500 договоров с вероятностью 0,015 среднее значение составляет 7,5 случая. Это ожидание, а не гарантия: фактическое число колеблется, и интерес представляют именно хвосты распределения.
Для оценки разброса используется стандартное отклонение √(n·p·(1−p)). В примере оно около 2,7 случая, поэтому отклонения на два-три случая от среднего в обе стороны выглядят обычными, а не аномальными.
Формула верхнего хвоста
Вероятность не менее k случаев удобно искать через дополнение: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Нужно сложить вероятности значений от 0 до k − 1, каждая из которых равна C(n,i)·pⁱ·(1−p)ⁿ⁻ⁱ, и вычесть сумму из единицы.
Калькулятор вычисляет это значение точно, без нормального приближения, поэтому результат корректен и для небольших n. При k = 0 условие выполняется всегда, и вероятность равна единице.
Читаем результат на двух примерах
Для n = 500, p = 0,015 и k = 10 вероятность составляет около 0,2223. Иными словами, примерно в одном из четырёх-пяти периодов случаев будет десять и больше, хотя в среднем ожидается 7,5.
Для n = 100, p = 0,02 и k = 5 получаем около 0,0508. Среднее здесь равно двум случаям, а пять и больше встречаются примерно в одном периоде из двадцати. Чем дальше порог от среднего, тем быстрее убывает вероятность.
Сравните оба примера по смыслу: в первом портфеле порог лишь немного выше среднего, поэтому событие вполне обычное, во втором порог более чем вдвое превосходит среднее, и событие остаётся редким. Так вероятность помогает отличить нормальные колебания от тревожного сигнала.
Как выбирать порог и вероятность
Порог k обычно привязывают к величине, при которой выплаты становятся ощутимыми для бюджета или резерва. Вероятность p оценивают по накопленной статистике: доля договоров с случаем за период.
Проверяйте чувствительность. Поднимите p с 0,015 до 0,02 при тех же n и k — вероятность превышения заметно вырастет. Небольшая ошибка в p превращается в существенную ошибку для хвоста.
Период должен совпадать для p и для горизонта планирования. Если вероятность случая задана на год, а вы планируете резерв на квартал, сначала пересчитайте вероятность на нужный срок, иначе вывод о риске будет неверным.
Когда модель вводит в заблуждение
Если убытки вызваны общей причиной, например стихийным бедствием, эпидемией или массовым сбоем, случаи по разным договорам связаны, и вероятность крупных значений выше расчётной. Биномиальная модель такие кластеры не отражает.
Калькулятор носит учебный и ориентировочный характер, не определяет тарифы и не заменяет актуарную оценку. Решения о резервах и перестраховании принимайте с участием квалифицированных специалистов.
Формула расчёта
P(X ≥ k) = 1 − Σ C(n,i)·pⁱ·(1−p)ⁿ⁻ⁱ, i = 0…k−1
Проверенные примеры
n = 500, p = 0,015, k = 10.
Среднее число случаев n·p = 7,5; вероятность 10 и более случаев равна примерно 0,2223, то есть около 22,2%.
n = 100, p = 0,02, k = 5.
Среднее n·p = 2; вероятность 5 и более случаев равна примерно 0,0508, то есть около 5,1%.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Определите число однотипных договоров n и период, например один год.
- Оцените вероятность страхового случая p по одному договору в долях и выберите порог k.
- Нажмите «Вычислить» и сравните вероятность с вашей допустимой границей риска.