Что описывает распределение Пуассона
Оно задаёт вероятность того, что за период произойдёт ровно i событий, если в среднем их λ, а сами события независимы. Формула имеет вид e^(−λ)·λ^i ÷ i!, где i! — факториал.
Особенность модели — единственный параметр: среднее и дисперсия равны λ. Поэтому, если у вас в среднем два случая в год, типичные колебания составляют около полутора случаев в обе стороны.
Как считается вероятность k и более случаев
Вероятность превысить порог считают через противоположное событие: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1). Для λ = 2 и k = 4 получаем 1 − P(X ≤ 3) ≈ 0,1429, то есть около 14.3%.
При λ = 0,5 вероятность хотя бы одного случая равна 1 − e^(−0,5) ≈ 0,3935. А для λ = 5 вероятность восьми и более случаев — 0,1334. Видно, как быстро падает вероятность далёких от среднего значений.
Условия применимости модели
Главное допущение — независимость событий. Аварии в разных городах независимы, а последствия одного урагана для сотен домов — нет. В таких случаях случаи идут «пачками», и реальные большие серии встречаются чаще, чем в модели.
Второе допущение — постоянная интенсивность. Если в январе происходит больше случаев, чем в июле, годовой λ нужно разбивать по периодам или использовать более сложные модели.
Как оценить среднее число случаев
Параметр λ берут из статистики: суммарное число случаев делят на число наблюдаемых периодов. Чем длиннее история, тем надёжнее оценка. По двум-трём годам λ можно определить лишь приблизительно.
Если период расчёта отличается от периода статистики, масштабируйте λ пропорционально. Например, при двух случаях в год для полугода берётся λ = 1.
Для небольших портфелей полезно считать λ по нескольким сценариям: по лучшим и худшим годам истории. Разброс вероятностей между сценариями покажет, насколько ваш вывод зависит от неточности исходной статистики.
Границы расчёта и роль специалиста
Калькулятор оценивает только число случаев, но не размер убытков. Для финансового планирования страховщика нужны ещё распределение сумм выплат, резервы и учёт перестрахования.
Поэтому рассматривайте результат как учебную или ориентировочную оценку. Для решений о тарифах и резервах привлекайте актуария, который проверит допущения на реальных данных.
Не забывайте и о том, что чем меньше наблюдений, тем менее надёжна оценка среднего. Результат точен настолько, насколько точен исходный параметр, поэтому при коротких рядах данных его стоит воспринимать только как ориентир.
Пример для небольшого автопарка
Компания владеет автопарком, где в среднем происходит три страховых случая в год. Какова вероятность, что в следующем году их будет пять и более? Модель даёт ответ около 18%, то есть примерно один год из пяти окажется заметно хуже среднего.
Такая оценка помогает заложить резерв: если одно событие стоит значительной суммы, пять случаев в год могут пробить бюджет. Зная вероятность, можно решить, стоит ли повышать страховую защиту или создавать собственный резервный фонд.
Формула расчёта
P(X ≥ k) = 1 − Σ e^(−λ)·λ^i ÷ i!, i = 0…k−1
Проверенные примеры
λ = 2. Какова вероятность четырёх и более случаев за год?
P(X ≥ 4) = 1 − P(X ≤ 3) ≈ 0,1429, то есть около 14.3%.
λ = 0,5. Какова вероятность хотя бы одного случая?
P(X ≥ 1) = 1 − e^(−0,5) ≈ 0,3935, около 39.3%.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Определите среднее число страховых случаев за период по вашей статистике.
- Введите это значение в поле λ.
- Укажите порог k: вероятность скольки и более случаев вас интересует.
- Нажмите «Вычислить» и интерпретируйте вероятность как оценку при заданных допущениях.