Термины: выборка и генеральная совокупность
Генеральная совокупность — все объекты, о которых хотят сделать вывод: студенты вуза, изделия партии, клиенты базы. Выборка — та их часть, которую фактически обследовали. Отношение n/N называют долей отбора или sampling fraction.
Важно, что N относится к совокупности именно изучаемой, а не к более широкой. Опрос студентов одного факультета нельзя сравнивать с численностью всего университета: доля получится заниженной.
Формула и числовой пример
Формула проста: f = n / N · 100%. Для опроса 400 студентов из 5000 получаем 8%. Для анкеты 100 пользователей из 100 000 — 0,1%: практически бесконечная совокупность.
Расчёт не требует округлений, но на практике n обычно известно точно, а N — приближённо. Если N оценено с погрешностью 10%, то и доля меняется на те же 10% относительно, и этого достаточно для грубого решения о поправке.
Зачем нужна доля: поправка на конечность
При выборке без возвращения стандартная ошибка среднего уменьшается в √((N − n)/(N − 1)) раз по сравнению с формулой для бесконечной совокупности. Если n/N меньше примерно 5%, множитель очень близок к единице, и им пренебрегают.
Когда выборка охватывает пятую часть совокупности и более, игнорирование поправки завышает ошибку и расширяет доверительные интервалы без необходимости. В предельном случае n = N ошибка выборки исчезает: это сплошное обследование.
Частые заблуждения
Первое заблуждение — «чем выше доля, тем надёжнее результат». Точность оценки зависит прежде всего от размера выборки и способа отбора. Выборка из 400 человек даёт близкую точность и для города, и для страны, если отбор случайный.
Второе — считать, что большая доля исправит смещение. Если опрошены только те, кто сам откликнулся на рассылку, даже 60% охвата не гарантируют репрезентативность, потому что неответившие могут отличаться систематически.
Где применять результат
Расчёт полезен при планировании опроса, аудита или выборочного контроля качества: он быстро показывает, оправдан ли переход от формул для бесконечной совокупности к формулам с поправкой, и сколько объектов остаётся необследованными.
Для расчёта необходимого размера выборки, доверительных интервалов и проверки гипотез потребуются отдельные формулы. Здесь вычисляется только охват.
Что важнее: размер выборки или её доля
Распространена интуиция, что для большой совокупности нужна и большая выборка в процентах. На самом деле точность оценки доли или среднего определяется прежде всего абсолютным размером n. Выборка в 400 человек даёт примерно ту же погрешность для города в 50 тысяч и для страны в миллионы при случайном отборе.
Доля n/N начинает играть роль лишь тогда, когда выборка занимает ощутимую часть совокупности. В малых совокупностях, например при проверке партии из 200 изделий, обследование 60 штук уже даёт 30% охвата, и поправка на конечность заметно сужает неопределённость.
Поэтому при планировании сначала определяют нужный абсолютный размер выборки по требуемой точности, а затем сравнивают его с N: если получилась большая доля, формулы корректируют, а иногда проще обследовать совокупность целиком.
Формула расчёта
f = n / N · 100%
Проверенные примеры
В вузе учатся 5000 студентов, опрошено 400. Какую долю составляет выборка?
f = 400 / 5000 · 100% = 8%. Это больше 5%, значит, поправку на конечную совокупность стоит рассмотреть.
На сайте 100 000 зарегистрированных пользователей, анкету заполнили 100. Какова доля?
f = 100 / 100000 · 100% = 0,1%. Доля ничтожна, совокупность практически бесконечна.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите размер выборки n — фактическое число обследованных объектов.
- Введите размер генеральной совокупности N — общее число объектов.
- Нажмите «Вычислить» и сравните долю с порогом около 5%.