Что значит «различные выборки»
Две выборки считаются различными, если в них входит хотя бы один разный объект. Порядок отбора не учитывается: выборки {A, B, C} и {C, A, B} — одна и та же выборка. Поэтому используют сочетания, а не размещения.
Простой случайный отбор означает, что все выборки заданного объёма равновероятны. Тогда вероятность каждой равна 1/C(N, n), а вероятность попадания конкретного объекта в выборку равна n/N.
Формула и вычисления
C(N n) = N! / (n!·(N − n)!). Для N = 30 и n = 5 получаем 30·29·28·27·26 / 120 = 142 506. Числитель — число упорядоченных наборов, а деление на n! убирает различия в порядке.
Для N = 100 и n = 5 выборок уже 75 287 520. Видно, как быстро число растёт: даже скромные совокупности порождают миллионы вариантов, поэтому перебрать все выборки на практике невозможно.
Симметрия и проверка результата
Выполняется равенство C(N, n) = C(N, N − n): выбрать n объектов для включения — то же, что выбрать N − n объектов для исключения. Например, C(10, 3) = C(10, 7) = 120.
Крайние случаи тоже полезны для проверки: C(N, 0) = 1 (пустая выборка единственна) и C(N, N) = 1 (единственный способ взять всех). Если калькулятор показывает иное, исходные данные введены неверно.
Зачем знать число выборок
Теория выборочного метода рассматривает все C(N, n) выборок и показывает, как оценка, например среднее, колеблется от выборки к выборке. Стандартная ошибка — это разброс именно по этому множеству.
Большое число возможных выборок объясняет, почему две независимые случайные выборки почти никогда не совпадают: вероятность совпадения равна 1/C(N, n). Выборочная ошибка неизбежна, и её нужно оценивать, а не игнорировать.
Ограничения модели
Расчёт верен только для простого случайного отбора без возвращения. В стратифицированной выборке число вариантов равно произведению сочетаний по стратам, а в кластерной считают сочетания кластеров.
Если объекты в совокупности неразличимы, число различных наборов по содержимому может быть меньше. Здесь все объекты считаются различными.
Вероятность отдельной выборки и объекта
Из равновероятности всех C(N, n) выборок следует простой результат: вероятность попасть в выборку у каждого конкретного объекта одинакова и равна n/N. В группе из 30 студентов при выборке из 5 человек каждый студент оказывается в ней с вероятностью 1/6, то есть примерно 16,7%.
Число выборок, содержащих конкретный объект, равно C(N − 1, n − 1). Деление этого числа на C(N, n) снова даёт n/N. Для N = 10 и n = 3 получаем 36 выборок из 120, то есть 0,3.
Эти факты лежат в основе несмещённости выборочного среднего при простом случайном отборе: усредняя по всем возможным выборкам, мы получаем среднее всей совокупности. Калькулятор помогает увидеть масштаб этого множества.
Формула расчёта
C(N, n) = N! / (n!·(N − n)!)
Проверенные примеры
Из 30 студентов нужно случайно выбрать 5 для опроса. Сколько существует разных выборок?
C(30 5) = 142 506. При простом случайном отборе каждая из этих выборок имеет вероятность 1/142 506.
Сколько выборок объёма 3 можно составить из 10 объектов?
C(10, 3) = 120. Вероятность каждой выборки равна 1/120.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите размер совокупности N — общее число объектов.
- Введите размер выборки n (поле «k» в расчёте) — число отбираемых объектов.
- Нажмите «Вычислить», чтобы получить число различных выборок.