Что такое критическое значение и квантиль
Квантиль порядка p стандартной нормали — это число z, для которого вероятность Z ≤ z равна p. Он обратен функции распределения Φ: если Φ(1,96) ≈ 0,975, то Φ⁻¹(0,975) ≈ 1,96. Калькулятор вычисляет именно обратную функцию.
Критическим такое z называют, когда оно служит границей: значения за ним считают слишком редкими, чтобы объяснять их случайностью, либо исключают из доверительного интервала. Чем выше уровень доверия, тем дальше от нуля лежит эта граница и тем шире получается интервал.
Для привычных уровней значения стоит запомнить: 90 % даёт 1,645, 95 % даёт 1,960, 99 % даёт 2,576 при двустороннем интервале. Остальные случаи удобно считать калькулятором.
Как выбрать вероятность p
Пусть уровень доверия равен 1 − α. В двустороннем интервале на оба хвоста вместе приходится α, то есть по α/2 на каждый. Верхняя граница соответствует накопленной вероятности 1 − α/2, и именно её нужно вводить. Для 95 % это 0,975, для 99 % это 0,995, для 90 % это 0,95.
В одностороннем случае весь хвост α лежит с одной стороны, и p = 1 − α. Поэтому односторонняя граница 95 % равна 1,645, а не 1,96. Путаница между этими двумя вариантами — самая частая ошибка при ручном выборе z из таблицы.
Для нижней границы используйте p = α/2 или p = α, и получите отрицательное число. Из симметрии оно равно по модулю верхней границе с вероятностью 1 − p.
Использование z в интервале и в планировании выборки
Если σ известна, предельная ошибка среднего равна E = z · σ / √n, а интервал составляет x̄ ± E. При σ = 15, n = 100 и z = 1,96 ошибка равна 1,96 · 15 / 10 = 2,94; значит, при выборочном среднем 102 интервал будет от 99,06 до 104,94.
Формулу можно перевернуть и найти необходимый объём выборки: n = (z · σ / E)². Для σ = 15 и допустимой ошибки E = 2 получаем (1,96 · 15 / 2)² ≈ 216,1, то есть нужно минимум 217 наблюдений. Округлять нужно всегда вверх, иначе требуемая точность не достигается.
Для доли используется та же схема со стандартной ошибкой √(p̂ (1 − p̂) / n). При опросе из 400 человек, в котором за вариант высказались 40 %, ошибка при уровне 95 % составляет 1,96 · √(0,4 · 0,6 / 400) ≈ 0,048, то есть около 4,8 процентного пункта.
Когда нормальный квантиль не подходит
Если стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно и заменяется выборочным, правильным множителем становится квантиль распределения Стьюдента с n − 1 степенями свободы. При n = 10 он для уровня 95 % равен примерно 2,26, а не 1,96, и интервал получается заметно шире.
С ростом выборки распределение Стьюдента приближается к нормальному. При 100 степенях свободы разница между 1,984 и 1,960 уже около процента, и многие практические руководства разрешают заменять один квантиль другим для достаточно больших выборок.
Не стоит применять z и тогда, когда данные сильно скошены, а выборка мала. В этом случае интервал, построенный по нормальной модели, может иметь фактическую вероятность покрытия заметно ниже заявленной.
Ограничения и точность калькулятора
Калькулятор принимает вероятности от 10⁻¹⁰ до 1 − 10⁻¹⁰ и ищет квантиль численно. Точность определяется приближённой функцией распределения с погрешностью около 10⁻⁷, поэтому для p от 0,005 до 0,995, куда попадают привычные уровни доверия до 99 %, погрешность квантиля не превышает нескольких единиц шестого знака.
В хвостах хуже: при p = 0,999 расхождение с точным значением 3,09023 составляет около 2·10⁻⁵, при p = 0,9999 около 7·10⁻⁵, а при p порядка 10⁻⁸ погрешность функции распределения сопоставима с самой вероятностью, и квантиль становится заметно менее точным. Такие значения бывают нужны при многократной проверке гипотез с поправкой Бонферрони, и там лучше применять специализированные пакеты.
Калькулятор возвращает только значение z. Он не знает, какой у вас интервал, сколько хвостов и какая выборка, и ответственность за правильный выбор p лежит на пользователе.
Формула расчёта
z = Φ⁻¹(p); p = 1 − α/2 (двусторонний) или p = 1 − α (односторонний); E = z · σ / √n
Проверенные примеры
Какой множитель z нужен для двустороннего доверительного интервала с уровнем доверия 95 %?
α = 0,05, p = 1 − 0,05/2 = 0,975. Квантиль Φ⁻¹(0,975) ≈ 1,959964, то есть округлённо 1,96.
Известно σ = 15. Какой объём выборки нужен, чтобы 95 %-ный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2?
Берём z ≈ 1,959964. Минимальный объём n = (z · σ / E)² = (1,959964 · 15 / 2)² ≈ 216,08, значит, нужно округлить вверх до 217 наблюдений.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выберите уровень доверия 1 − α и тип интервала. Для двустороннего p = 1 − α/2, для одностороннего p = 1 − α.
- Введите p в поле через десятичную точку, например 0.975 для уровня 95 % при двустороннем интервале.
- Нажмите «Рассчитать» и подставьте найденное z в формулу границ интервала.