Почему сокращение не меняет величину дроби
Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. Это основное свойство дроби, на нём построены и приведение к общему знаменателю, и сокращение.
Сокращение — деление на общий делитель. Выбрав его наибольшим, мы убираем все общие множители сразу.
Дробь называют несократимой, если числитель и знаменатель взаимно просты, то есть их НОД равен единице. Именно такую запись принято считать окончательным ответом в школьных задачах и в большинстве вычислений.
Что такое НОД и как его находят
Наибольший общий делитель — самое большое целое число, на которое без остатка делятся и числитель, и знаменатель. Для 84 и 126 общими делителями являются 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42, наибольший — 42.
Вручную НОД находят алгоритмом Евклида: большее число заменяют остатком от деления на меньшее, пока остаток не станет нулём. Для 126 и 84 остаток от деления равен 42, затем 84 делится на 42 без остатка. Последний ненулевой остаток 42 и есть НОД.
Разложение на простые множители даёт тот же результат: 84 = 2·2·3·7, 126 = 2·3·3·7, общие множители 2·3·7 = 42. Алгоритм Евклида быстрее, особенно для больших чисел.
Пошаговый пример сокращения
Сократим 84/126. НОД равен 42, значит, числитель 84 ÷ 42 = 2, знаменатель 126 ÷ 42 = 3. Получаем 2/3. Проверка: 2·126 = 252 и 3·84 = 252, перекрёстные произведения совпадают, значит, дроби равны.
Другой случай: 462/1155. НОД здесь равен 231, поэтому дробь равна 2/5. Пошаговое сокращение на 3, 7 и 11 привело бы к тому же результату, но заняло бы больше времени.
Особые случаи: знак, единица и целое число
Если числитель отрицательный, НОД всё равно берётся по модулям, а знак остаётся в числителе: −45/60 даёт НОД 15 и дробь −3/4. Знаменатель в калькулятор вводят положительным.
Если числитель кратен знаменателю, как в 100/25, НОД равен знаменателю, а дробь превращается в целое число 4. Когда НОД равен 1, дробь уже несократима.
Типичные ошибки при сокращении
Часто сокращают слагаемые вместо множителей: в выражении (6 + 3)/(6 + 9) нельзя «убрать» шестёрки. Сокращать можно только общие множители целиком числителя и знаменателя, а не отдельные цифры или слагаемые: вычёркивание цифр в записи 16/64 случайно даёт верный, но ничем не обоснованный результат.
Другая ошибка — остановиться на частичном сокращении, например разделить 84/126 только на 2 и получить 42/63. Проверка НОД новой пары покажет 21, значит, процесс не завершён.
Что калькулятор не делает
Инструмент выводит НОД и НОК, а деление выполняется по готовой формуле вручную. Он не работает с десятичными дробями и выражениями с буквами: для них сначала нужно получить целые числитель и знаменатель.
Для чисел больше десяти миллионов по модулю понадобится специализированный инструмент для работы с длинной арифметикой.
Формула расчёта
a/b = (a ÷ НОД(a, b)) / (b ÷ НОД(a, b))
Проверенные примеры
Сократить дробь 84/126.
НОД(84, 126) = 42. Делим: 84 ÷ 42 = 2 и 126 ÷ 42 = 3. Несократимая дробь равна 2/3. НОК чисел 84 и 126 равен 252, к сокращению он отношения не имеет.
Сократить 100/25.
НОД(100, 25) = 25, поэтому 100/25 = 4/1 = 4: дробь превращается в целое число.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите числитель и знаменатель обыкновенной дроби в виде целых чисел.
- Нажмите «Вычислить» и посмотрите значение НОД.
- Разделите числитель и знаменатель на НОД — получится несократимая дробь.
- Если НОД равен 1, дробь уже несократима.