Почему здесь нужны размещения
Итог «Иванов — золото, Петров — серебро» отличается от итога «Петров — золото, Иванов — серебро», хотя состав призёров тот же. Раз различаются и состав, и порядок, каждый такой итог считается отдельно.
Если же порядок не важен, например при выборе трёх человек в жюри, применяют сочетания. Это принципиально другая задача, и результаты по ней существенно меньше.
Правило умножения за формулой
Рассуждайте по местам. На первое место претендуют все n участников. Когда победитель определён, на второе остаются n − 1, а на третье — n − 2. Количество вариантов каждого шага перемножается, поэтому A(n, 3) = n·(n − 1)·(n − 2).
Общая запись A(n, k) = n!/(n − k)! даёт то же самое: факториал сокращается до k сомножителей. Для k = n получается n!, то есть число перестановок всех участников.
Числа для типичных турниров
Для восьми бегунов A(8, 3) = 8·7·6 = 336. Для десяти участников A(10, 3) = 720, для двенадцати A(12, 3) = 1320, для двадцати A(20, 3) = 6840. Число итогов растёт быстро: при трёх местах оно примерно пропорционально кубу числа участников.
Крайние случаи полезны для проверки. Одно место: A(5, 1) = 5, то есть победителем может стать любой. Три участника и три места: A(3, 3) = 6, это все перестановки трёх человек.
Связь с сочетаниями
Число сочетаний C(n, k) показывает, сколько существует составов призёров без учёта порядка. Каждый состав из k человек можно расставить по местам k! способами, поэтому A(n, k) = C(n, k)·k!. Для 8 участников и трёх мест это 56·6 = 336.
Эта связь даёт простой контроль: размещений всегда больше сочетаний в k! раз. Если при k = 3 отношение не равно 6, где-то допущена ошибка.
Где ещё применяется тот же расчёт
Та же формула отвечает на вопросы о числе способов назначить трёх дежурных на три разные должности из группы в 10 человек (720 вариантов) или выбрать старосту, его заместителя и казначея из класса в 25 человек: A(25, 3) = 25·24·23 = 13 800. Везде, где должности или места различаются, нужны размещения.
Для сравнения, если из тех же 25 человек выбирают просто комитет из трёх без распределения ролей, вариантов будет 2300, то есть в шесть раз меньше. Этот пример наглядно показывает цену учёта порядка.
Ограничения модели
Формула считает возможные итоги, но ничего не говорит об их вероятности. Сильный участник выигрывает чаще слабого, а значит, равновероятными итоги не бывают, и делить единицу на A(n, k) для оценки шансов нельзя.
Не учитываются ничьи, дисквалификации и правила, по которым один участник не может занять сразу два места или некоторые итоги исключены регламентом. В таких случаях задачу нужно разбирать отдельно.
Формула расчёта
A(n, k) = n! / (n − k)! = n·(n − 1)·…·(n − k + 1)
Проверенные примеры
Сколько существует итогов тройки призёров среди 8 бегунов?
A(8, 3) = 8·7·6 = 336.
Сколькими способами трое участников могут разделить три места?
A(3, 3) = 3·2·1 = 6.
Сколько вариантов золота, серебра и бронзы у 12 команд?
A(12, 3) = 12·11·10 = 1320.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Укажите общее число участников n, у которых есть шанс занять призовые места.
- Впишите число призовых мест k: для медалей это обычно 3, для победителя — 1.
- Нажмите «Вычислить» и получите число различных упорядоченных итогов.
- Не забывайте, что k не может быть больше n: мест не больше, чем участников.