Вывод формулы размещений
Заполняем позиции по очереди. На первую позицию претендуют n элементов, на вторую остаётся n − 1, на третью n − 2, и так далее до k-й позиции, для которой доступно n − k + 1 вариантов. По правилу произведения общее число вариантов равно n · (n − 1) · … · (n − k + 1).
Это произведение записывают через факториалы: A(n, k) = n! / (n − k)!. Для A(10, 3) получаем 10 · 9 · 8 = 720: ровно столько существует способов распределить золото, серебро и бронзу между десятью участниками.
Размещения, сочетания и перестановки
Три понятия различаются двумя вопросами: важен ли порядок и используются ли все элементы. Если порядок не важен, это сочетания C(n, k); если важен и используется часть элементов, это размещения; если важен и используются все элементы, это перестановки n!.
Связь простая: A(n, k) = C(n, k) · k!. Сначала выбираем состав группы из k человек, а затем k! способами расставляем их по местам. Так, A(10, 3) = 120 · 6 = 720, где 120 — число сочетаний C(10, 3).
Практические примеры
Размещения возникают при подсчёте кодов и паролей из разных символов, расписаний занятий, мест на пьедестале, очерёдности выступлений и распределения должностей. Например, четырёхзначный код из различных цифр можно составить 10 · 9 · 8 · 7 = 5040 способами.
Если нужно составить расписание из пяти уроков, выбирая их из двенадцати предметов, ответ равен A(12, 5) = 95 040. Большие значения показывают, почему полный перебор вариантов быстро становится невозможным и приходится применять оптимизацию.
Особые случаи
При k = 0 существует ровно один способ ничего не разместить, поэтому A(n, 0) = 1. При k = 1 вариантов столько же, сколько элементов: A(n, 1) = n. При k = n размещения превращаются в перестановки, и ответ равен n!.
Значение k не может превышать n: нельзя расставить по местам больше различных элементов, чем у вас есть. Попытка ввести k больше n приведёт к сообщению об ошибке.
Ограничения калькулятора
Калькулятор принимает n до 100 и считает произведение в формате с плавающей запятой. Уже при n = 25 и k = 25 результат превышает 10²⁵, поэтому цифры сверх пятнадцатой значащей не точны.
Для школьных задач это достаточно: важен порядок величины и первые значащие цифры. Если нужны все знаки огромного числа, пользуйтесь целочисленной арифметикой произвольной длины в языках программирования.
Формула расчёта
A(n, k) = n! / (n − k)! = n · (n − 1) · … · (n − k + 1)
Проверенные примеры
Сколькими способами можно распределить золото, серебро и бронзу между 10 участниками?
A(10, 3) = 10 · 9 · 8 = 720.
Сколько существует четырёхзначных кодов из разных цифр 0–9?
A(10, 4) = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Укажите общее количество элементов n.
- Укажите число позиций k, которые нужно заполнить.
- Нажмите «Рассчитать» и получите количество упорядоченных наборов.