Математический смысл расчёта
Квантор существования оставляет строку истинной, если условие выполняется хотя бы при одном значении выбранной переменной. Всеобщий квантор требует выполнения при обоих значениях. Выполнимость определяется по пересечению множеств разрешённых наборов. В результате показаны число решений, признак единственности и минимальная и максимальная численность истинных переменных.
Для постановки «Выполнимость булевой системы — с квантором» существенна не только основная операция, но и дополнительное условие. Здесь используется правило H=∃x[k](F⊕G) либо H=∀x[k](F⊕G). Уберите условие или измените соответствующее значение — множество допустимых строк таблицы может измениться. Поэтому сначала проверяется построенная итоговая функция, а уже затем выполняется запрошенный анализ её свойств. Это отличает данный расчёт от анализа одной неизменяемой формулы.
Как числа описывают таблицу истинности
Для булевой функции от n переменных требуется 2^n значений. Если записать их в двоичном виде, каждое значение становится битом числовой маски. Так, строка с номером x отвечает x-му биту; x1 определяется младшим битом номера строки. В модели «Выполнимость булевой системы — с квантором» та же нумерация используется для всех вводимых масок: это важно, поскольку смешение порядка переменных даст совершенно другой ответ.
Для исходной проверки модели «Выполнимость булевой системы — с квантором» используются, в частности, следующие значения: Таблица истинности F (число) = 46003, Таблица истинности G (число) = 40928, Количество переменных = 3, Переменная под квантором (от 0) = 1, Квантор: 0 — существует, 1 — для всех = 0. При n=3 требуется восемь значений каждой функции, а при n=4 — шестнадцать. Биты за пределами выбранной таблицы отбрасываются. Если вводите маску вручную, проверьте нулевой набор и крайний номер строки до выполнения остальных преобразований.
Какие шаги выполняет вычислитель
Выполнимость определяется по пересечению множеств разрешённых наборов. В результате показаны число решений, признак единственности и минимальная и максимальная численность истинных переменных. Используются точные целочисленные операции, поэтому округление здесь не требуется. В расчёте «Выполнимость булевой системы — с квантором» эта последовательность применяется к функции, полученной по условию H=∃x[k](F⊕G) либо H=∀x[k](F⊕G).
Контрольный пример для задачи «Выполнимость булевой системы — с квантором» даёт следующие показатели: Система выполнима (1 — да): 1, Число решений: 6. Они выводятся совместно, чтобы можно было обнаружить ошибку при составлении маски или выборе условий. Изменение связки, ограничения либо исходной функции приводит к пересчёту всех связанных характеристик. Такой подход позволяет использовать калькулятор не только для получения ответа, но и для проверки ручного решения.
Проверка результата и особые случаи
Проверьте составное условие на отдельных наборах, изменяя значения масок и переменных. При числе переменных от двух до четырёх полный перебор доступен без приближений. Если решений нет, соответствующие показатели прямо отражают этот факт; невозможные индексы и противоречивые диапазоны отклоняются. Для задачи «Выполнимость булевой системы — с квантором» проверяются также границы выбранной постановки.
Обратите внимание на задачу «Выполнимость булевой системы — с квантором»: её результат зависит от того, какие наборы изначально разрешены. В частных случаях итоговая функция может оказаться тождественно ложной или истинной, а множество решений — пустым. Это корректный математический итог, а не сбой вычислителя. Для проверки полезно задать простые постоянные функции и затем постепенно вводить дополнительные ограничения, наблюдая за изменением числа допустимых наборов.
Формула расчёта
H=∃x[k](F⊕G) либо H=∀x[k](F⊕G)
Проверенные примеры
Таблица истинности F (число) = 46003; Таблица истинности G (число) = 40928; Количество переменных = 3; Переменная под квантором (от 0) = 1; Квантор: 0 — существует, 1 — для всех = 0; Дополнительное условие (маска) = 65535; Запрещённые наборы (маска) = 0
Система выполнима (1 — да): 1; Число решений: 6; Единственное решение (1 — да): 0; Первый набор-решение: 0; Минимум истинных переменных: 0; Максимум истинных переменных: 2; Проверено наборов: 8
Таблица истинности F (число) = 46054; Таблица истинности G (число) = 40928; Количество переменных = 3; Переменная под квантором (от 0) = 1; Квантор: 0 — существует, 1 — для всех = 0; Дополнительное условие (маска) = 65535; Запрещённые наборы (маска) = 0
Система выполнима (1 — да): 1; Число решений: 4; Единственное решение (1 — да): 0; Первый набор-решение: 0; Минимум истинных переменных: 0; Максимум истинных переменных: 2; Проверено наборов: 8
Таблица истинности F (число) = 46003; Таблица истинности G (число) = 40901; Количество переменных = 3; Переменная под квантором (от 0) = 1; Квантор: 0 — существует, 1 — для всех = 0; Дополнительное условие (маска) = 65535; Запрещённые наборы (маска) = 0
Система выполнима (1 — да): 1; Число решений: 8; Единственное решение (1 — да): 0; Первый набор-решение: 0; Минимум истинных переменных: 0; Максимум истинных переменных: 3; Проверено наборов: 8
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите булевы функции в числовом виде: бит №x отвечает набору значений с номером x.
- Выберите переменные, ограничения и остальные параметры, необходимые для данной постановки.
- Запустите вычисление; при проверке следствия контрпример обозначает набор, нарушающий вывод.