Факториал числа

Определение и первые значения

По определению n! = 1 · 2 · 3 · … · n. Первые значения запомнить несложно: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040. Каждое следующее получается умножением предыдущего на новый множитель, то есть n! = n · (n − 1)!.

Это рекуррентное соотношение удобно для ручного счёта: чтобы найти 8!, достаточно взять 5040 и умножить на 8, получится 40 320. Именно так работает калькулятор, только без промежуточных записей.

Почему ноль факториал равен единице

Определение через «произведение от 1 до n» для нуля не работает, поэтому значение 0! принимают по соглашению, которое сохраняет все формулы. Если подставить n = 1 в соотношение n! = n · (n − 1)!, получится 1 = 1 · 0!, то есть 0! = 1.

Есть и комбинаторное объяснение. Число способов упорядочить пустое множество — ровно один: ничего не переставлять. Благодаря этому формула числа сочетаний C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) корректно работает для k = 0 и k = n.

Как быстро растёт факториал

Рост факториала стремительный: 10! уже равно 3 628 800, 15! — примерно 1,3 триллиона, а 17! = 355 687 428 096 000. Каждое увеличение n на единицу умножает результат на n + 1, поэтому на больших n скорость роста превосходит и степени, и показательные функции.

Из-за этого калькулятор принимает значения до 17 и выводит точное целое число. Для оценок при больших n применяют формулу Стирлинга n! ≈ √(2πn) · (n / e)ⁿ: для n = 10 она даёт около 3 599 000, что отличается от точного значения менее чем на один процент.

Где применяется факториал

Основное применение — комбинаторика. Число перестановок n различных объектов равно n!, число размещений из n по k — n! / (n − k)!, а число сочетаний — n! / (k! · (n − k)!). Шесть разных букв можно записать в ряд 720 способами, а восемь участников финала занять восемь мест 40 320 способами.

Факториалы встречаются и в анализе: коэффициенты ряда Тейлора для экспоненты eˣ = 1 + x + x² / 2! + x³ / 3! + … содержат именно их. В теории вероятностей на факториалах строится формула распределения Пуассона и многие формулы для числа исходов.

Нули на конце и другие приёмы

Количество нулей на конце n! определяется числом пар множителей 2 и 5. Двоек всегда больше, поэтому считают только пятёрки: ⌊n / 5⌋ + ⌊n / 25⌋ + … Для 10! это 2, для 15! — 3, и в числе 1 307 674 368 000 действительно три нуля.

Если нужно найти отношение факториалов, сокращайте общие множители до умножения. Например, 12! / 10! = 12 · 11 = 132, и вычислять оба гигантских числа не требуется. Такая привычка избавляет от ошибок и переполнения.

Формула расчёта

Проверенные примеры

Как пользоваться онлайн-калькулятором

1. Введите целое число n от 0 до 17.
2. Нажмите «Рассчитать».
3. Прочитайте точное значение n! в блоке результата.