Формула числа сочетаний
Число сочетаний из n по k вычисляется как C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). Здесь n! — факториал, то есть произведение всех целых чисел от 1 до n. Числитель считает все упорядоченные выборки, а в знаменателе k! убирает повторы, вызванные перестановкой выбранных элементов.
На практике удобнее сокращённая запись: C(n, k) = n · (n − 1) · … · (n − k + 1) / k!. Для C(10, 3) это 10 · 9 · 8 / 6 = 120. Именно такая схема, с накоплением по одному множителю, применяется в калькуляторе.
Пример: лотерея 6 из 49
В популярной лотерее нужно угадать шесть номеров из сорока девяти. Порядок выпадения шаров не важен, поэтому число возможных комбинаций равно C(49, 6) = 13 983 816. Вероятность угадать все номера с одного билета составляет примерно один к четырнадцати миллионам.
Эта цифра хорошо показывает, как быстро растут сочетания. Если же нужно угадать пять номеров из шести выигрышных, то число благоприятных вариантов считают как произведение сочетаний, а затем делят на общее число комбинаций.
Сочетания и размещения
Размещения учитывают порядок: выбрать двух человек на роли президента и вице-президента — это не то же самое, что выбрать пару для комиссии. Из-за этого размещений A(n, k) ровно в k! раз больше, чем сочетаний: A(n, k) = C(n, k) · k!.
Простой способ выбрать нужную формулу — задать вопрос: изменится ли результат, если поменять выбранные элементы местами? Если нет, перед вами сочетание, если да — размещение. Если в выборе допускаются повторы, нужны другие формулы, не поддерживаемые этим калькулятором.
Симметрия и треугольник Паскаля
Число сочетаний обладает свойством симметрии C(n, k) = C(n, n − k): выбрать k элементов — значит оставить без выбора остальные n − k. Поэтому C(20, 7) и C(20, 13) совпадают, и калькулятор вычисляет их по меньшему из чисел.
Значения C(n, k) образуют треугольник Паскаля: каждое число равно сумме двух чисел над ним. Эти же числа служат коэффициентами в разложении бинома Ньютона (a + b)ⁿ, поэтому их называют биномиальными коэффициентами.
Ограничения и большие числа
Калькулятор принимает n до 100, и значение k не может превышать n. Для центральных коэффициентов вроде C(100, 50) результат превышает 10²⁹, а числа свыше 9 · 10¹⁵ хранятся в формате с плавающей запятой и показываются приближённо.
Если вам нужны точные цифры огромных сочетаний, используйте целочисленную арифметику с произвольной длиной. Для школьных задач и оценок вероятности приближённого значения обычно хватает с запасом.
Формула расчёта
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)
Проверенные примеры
Сколько существует способов выбрать 6 номеров из 49?
C(49, 6) = 49! / (6! · 43!) = 13 983 816.
Сколькими способами выбрать комиссию из 3 человек среди 10?
C(10, 3) = 10 · 9 · 8 / (3 · 2 · 1) = 120.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Укажите общее количество элементов n.
- Укажите, сколько элементов нужно выбрать, — число k, не превышающее n.
- Нажмите «Рассчитать» и получите количество способов.