Что означает производная в точке
Производная P′(x₀) равна угловому коэффициенту касательной: она показывает, на сколько единиц изменится y при увеличении x на единицу, если двигаться вдоль этой прямой. Положительное значение означает рост графика в точке, отрицательное — убывание, нулевое — горизонтальную касательную.
Для многочлена P(x) = a₀ + a₁x + … + aₙxⁿ производная находится почленно: слагаемое aₖxᵏ превращается в k·aₖxᵏ⁻¹. Калькулятор применяет это правило и подставляет x₀ в сам многочлен и в его производную.
Как записать уравнение касательной
Прямая с угловым коэффициентом k, проходящая через точку (x₀; y₀), записывается как y = y₀ + k·(x − x₀). Здесь y₀ = P(x₀), а k = P′(x₀). Раскрыв скобки, получаем y = kx + b, где b = P(x₀) − k·x₀.
Пример: для P(x) = 1 − 3x + 2x³ в точке x₀ = 2 получаем P(2) = 11 и P′(2) = 21. Тогда y = 11 + 21·(x − 2) = 21x − 31. Подстановка x = 2 даёт 11: касательная действительно проходит через точку графика.
Горизонтальная касательная и экстремум
Если P′(x₀) = 0, касательная горизонтальна и задаётся уравнением y = P(x₀). Так бывает в вершине параболы: для P(x) = x² − 4x + 5 в точке x₀ = 2 значение равно 1, производная равна 0, касательная — прямая y = 1.
Нулевая производная ещё не означает экстремум: у кубической параболы y = x³ в нуле касательная тоже горизонтальна, но график не меняет направления. Чтобы отличить эти случаи, смотрите на знак производной слева и справа от точки.
Нормаль и угол наклона касательной
Перпендикуляр к касательной в точке касания называют нормалью. Если k ≠ 0, её угловой коэффициент равен −1/k. Для k = 21 нормаль имеет коэффициент около −0,0476 и проходит через ту же точку (2; 11).
Угол наклона касательной к оси Ox равен арктангенсу углового коэффициента: при k = 1 он составляет 45°, при k = 21 — около 87,3°. Чем круче график в точке, тем ближе этот угол к 90°.
Как вводить коэффициенты
Коэффициенты записываются от свободного члена a₀ к старшему aₙ через пробел. Запись «1 -3 0 2» означает 1 − 3x + 0·x² + 2x³. Пропущенные степени нужно заменять нулями, иначе получится другой многочлен.
Допустимы многочлены до восьмой степени с вещественными коэффициентами; десятичная часть отделяется точкой. Абсцисса x₀ может быть любым вещественным числом в пределах ±10 000.
Где применяют касательную
Касательная заменяет сложную кривую простой прямой возле выбранной точки. Это основа линеаризации: приближённо P(x₀ + h) ≈ P(x₀) + P′(x₀)·h. Для P(x) = x² при x₀ = 3 и h = 0,1 прямая даёт 9,6, точное значение равно 9,61.
Чем меньше шаг h, тем точнее приближение: ошибка убывает примерно как квадрат шага. Для точек, далёких от x₀, касательная даёт лишь грубую оценку. Калькулятор не строит график и не заменяет оформленного решения учебной задачи.
Типичные ошибки при расчёте
Чаще всего ошибаются в порядке коэффициентов: запись «2 0 3» означает 2 + 3x², а не 2x² + 3. Другая ошибка — вычислить производную не в точке касания: угловой коэффициент нужно находить именно при x = x₀.
Проверяйте итоговое уравнение подстановкой: при x = x₀ оно обязано давать P(x₀). Для найденной прямой y = 21x − 31 при x = 2 получаем 42 − 31 = 11, как и должно быть.
Формула расчёта
y = P(x₀) + P′(x₀)·(x − x₀)
Проверенные примеры
Составьте уравнение касательной.
P(2) = 1 − 6 + 16 = 11, P′(x) = −3 + 6x², P′(2) = 21. Уравнение: y = 11 + 21·(x − 2) = 21x − 31.
Составьте уравнение касательной.
P(3) = 9, P′(3) = 6. Уравнение: y = 9 + 6·(x − 3) = 6x − 9.
Найдите касательную в вершине параболы.
P(2) = 1, P′(2) = 0: касательная горизонтальна, y = 1.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Запишите коэффициенты многочлена от свободного члена a₀ до старшего aₙ, пропущенные степени заменяя нулями.
- Введите абсциссу x₀ точки касания.
- Нажмите «Вычислить» и прочитайте P(x₀) и P′(x₀).
- Составьте уравнение y = P(x₀) + P′(x₀)·(x − x₀); раскрыв скобки, получите y = kx + b.