Математическая модель и формула
Рассчитывает площадь под колоколообразным профилем, долю полной площади и потери за пределами выбранного интервала. Исходная зависимость записывается так: f(x)=A·exp(−((x−μ)/σ)²), S=∫ₗʳf(x)dx. В отличие от одной арифметической операции, результат получается из последовательности математических шагов. Выражение используется целиком; за каждым коэффициентом закреплён собственный математический смысл.
Первым делом стоит определить, к каким переменным относится зависимость. В этой модели высота пика a задаёт значение 3, а положение центра μ — 1. При изменении этих величин алгоритм заново вычисляет зависимые результаты, а не преобразует уже готовый ответ по простому коэффициенту.
Как выбрать исходные данные
Нужно заполнить 5 полей: Высота пика A, Положение центра μ, Ширина σ, Левая граница, Правая граница. Для каждого поля установлен допустимый диапазон, и недопустимые значения приводят к понятной ошибке, а не к случайному числу.
Параметры формы не являются декоративными. Например, допустимые значения для «Высота пика A» — от 0.001 до 100, а для «Ширина σ» — от 0.001 до 20. Отдельные математические ограничения проверяются дополнительно к этим общим границам ввода.
Чтение и проверка результатов
Основные результаты включают: Площадь на интервале, Полная площадь под кривой, Доля внутри интервала, %, Площадь вне интервала. Связанные величины позволяют обнаружить неправильный исходный сценарий и сравнить варианты без ручного повторения всех формул.
На числовом примере по умолчанию показатель «Площадь на интервале» составляет 9.6180752. Измените «Высота пика A», сохранив прочие данные, а затем отдельно «Положение центра μ». Так можно проследить влияние двух независимых исходных факторов, не смешивая их эффект с изменением остальных условий расчёта.
Условия применимости и точность
Численное интегрирование ограничено значимой областью гауссова профиля, чтобы узкий пик не потерялся на длинном интервале. В вычислениях используется двойная точность; там, где интеграл находится численно, точность зависит от метода и масштаба исходных данных.
Результаты следует понимать в рамках записанной зависимости: f(x)=A·exp(−((x−μ)/σ)²), S=∫ₗʳf(x)dx. При вводе «Правая граница» в качестве исходного значения 4 подразумеваются все остальные настройки контрольного примера. За пределами этих условий выводы могут меняться: необходимо проверять границы, существование производных, допустимость интеграла и устойчивость численного метода — когда это относится к задаче.
Формула расчёта
f(x)=A·exp(−((x−μ)/σ)²), S=∫ₗʳf(x)dx
Проверенные примеры
Пусть Высота пика A = 3, Положение центра μ = 1, Ширина σ = 2, Левая граница = -1. Для остальных полей оставьте значения, показанные в форме. Найдите основные показатели.
При указанных параметрах получаем: Площадь на интервале = 9.618075, Полная площадь под кривой = 10.63472, Доля внутри интервала, % = 90.4403. Для проверки используются формула «f(x)=A·exp(−((x−μ)/σ)²), S=∫ₗʳf(x)dx» и независимый эталонный расчёт.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите исходные величины для модели «Гауссов пик: накопленная площадь на ограниченном интервале»: Высота пика A, Положение центра μ, Ширина σ.
- Укажите оставшиеся параметры (Левая граница, Правая граница) и запустите вычисление.
- Для анализа сопоставьте результаты «Площадь на интервале» и «Полная площадь под кривой». Численное интегрирование ограничено значимой областью гауссова профиля, чтобы узкий пик не потерялся на длинном интервале.