Математическая модель и формула
Вычисляет градиент сложного скалярного поля, производную в заданном направлении и скорость наибольшего роста. Исходная зависимость записывается так: f(x,y)=a·x²+b·xy+c·sin(y); Dᵥf=∇f·v/|v|. В отличие от одной арифметической операции, результат получается из последовательности математических шагов. Выражение используется целиком; за каждым коэффициентом закреплён собственный математический смысл.
Первым делом стоит определить, к каким переменным относится зависимость. В этой модели коэффициент квадрата x задаёт значение 2, а коэффициент xy — 1. При изменении этих величин алгоритм заново вычисляет зависимые результаты, а не преобразует уже готовый ответ по простому коэффициенту.
Как выбрать исходные данные
Нужно заполнить 7 полей: Коэффициент квадрата x, Коэффициент xy, Вес синуса y, Координата x, Координата y, Компонента направления vx, Компонента направления vy. Для каждого поля установлен допустимый диапазон, и недопустимые значения приводят к понятной ошибке, а не к случайному числу.
Параметры формы не являются декоративными. Например, допустимые значения для «Коэффициент квадрата x» — от -100 до 100, а для «Вес синуса y» — от -100 до 100. Отдельные математические ограничения проверяются дополнительно к этим общим границам ввода.
Чтение и проверка результатов
Основные результаты включают: Значение функции, Градиент по x, Градиент по y, Производная по направлению. Связанные величины позволяют обнаружить неправильный исходный сценарий и сравнить варианты без ручного повторения всех формул.
На числовом примере по умолчанию показатель «Производная по направлению» составляет 5.6771649. Измените «Коэффициент квадрата x», сохранив прочие данные, а затем отдельно «Коэффициент xy». Так можно проследить влияние двух независимых исходных факторов, не смешивая их эффект с изменением остальных условий расчёта.
Условия применимости и точность
Направление задаётся ненулевым вектором; при нулевом градиенте скорость первого порядка в любом направлении равна нулю. В вычислениях используется двойная точность; там, где интеграл находится численно, точность зависит от метода и масштаба исходных данных.
Результаты следует понимать в рамках записанной зависимости: f(x,y)=a·x²+b·xy+c·sin(y); Dᵥf=∇f·v/|v|. При вводе «Компонента направления vy» в качестве исходного значения 1 подразумеваются все остальные настройки контрольного примера. За пределами этих условий выводы могут меняться: необходимо проверять границы, существование производных, допустимость интеграла и устойчивость численного метода — когда это относится к задаче.
Формула расчёта
f(x,y)=a·x²+b·xy+c·sin(y); Dᵥf=∇f·v/|v|
Проверенные примеры
Пусть Коэффициент квадрата x = 2, Коэффициент xy = 1, Вес синуса y = 3, Координата x = 1. Для остальных полей оставьте значения, показанные в форме. Найдите основные показатели.
При указанных параметрах получаем: Значение функции = 4.632653, Градиент по x = 4.7, Градиент по y = 3.294527. Для проверки используются формула «f(x,y)=a·x²+b·xy+c·sin(y); Dᵥf=∇f·v/|v|» и независимый эталонный расчёт.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите исходные величины для модели «Градиент и направленная производная функции двух переменных»: Коэффициент квадрата x, Коэффициент xy, Вес синуса y.
- Укажите оставшиеся параметры (Координата x, Координата y, Компонента направления vx, Компонента направления vy) и запустите вычисление.
- Для анализа сопоставьте результаты «Значение функции» и «Градиент по x». Направление задаётся ненулевым вектором; при нулевом градиенте скорость первого порядка в любом направлении равна нулю.