Идея метода: парабола вместо отрезка
Метод трапеций заменяет функцию на каждом интервале отрезком прямой, а метод Симпсона — параболой, проведённой через три соседних узла. Парабола лучше повторяет изгиб кривой, поэтому при том же числе узлов ошибка получается существенно меньше.
Площадь под параболой на двух интервалах шириной h вычисляется точно: она равна h / 3 · (y₀ + 4y₁ + y₂). Центральный узел входит с весом 4, потому что он определяет «выпуклость» параболы, а крайние — с весом 1.
Составная формула
Если отрезок разбит на n равных интервалов (n чётно) с шагом h, то интеграл ≈ h / 3 · [y₀ + 4y₁ + 2y₂ + 4y₃ + … + 2y₍ₙ₋₂₎ + 4y₍ₙ₋₁₎ + yₙ]. Веса чередуются: 4 у нечётных узлов, 2 у чётных внутренних узлов, 1 на концах. Внутренние чётные узлы входят дважды, ведь они принадлежат сразу двум соседним параболам.
Шаг считается как h = (xₙ − x₀) / n. Калькулятор отдельно проверяет, что все расстояния между узлами одинаковы, иначе веса 4 и 2 теряют смысл и результат был бы неверным.
Пример с известным ответом
Возьмём f(x) = x² на отрезке [0; 2] с шагом 0,5. Значения: 0; 0,25; 1; 2,25; 4. Взвешенная сумма равна 0 + 4 · 0,25 + 2 · 1 + 4 · 2,25 + 4 = 16, а интеграл — 0,5 / 3 · 16 ≈ 2,666667. Точный интеграл равен 8/3, то есть совпадение полное.
Так происходит для любого многочлена до третьей степени. Для x⁴ на том же отрезке точный интеграл равен 6,4. С тремя узлами формула даёт 6,6667, с пятью узлами — 6,4167: ошибка упала с 0,267 до 0,0167, то есть в 16 раз при вдвое меньшем шаге.
Погрешность и выбор шага
Погрешность составной формулы пропорциональна h⁴ и четвёртой производной функции. Поэтому для гладких кривых сгущение сетки вдвое уменьшает ошибку примерно в 16 раз — это быстрая сходимость. Если же функция имеет излом или скачок, четвёртая производная не определена, и преимущество метода пропадает.
На практике считают интеграл дважды: на сетке с шагом h и с шагом h / 2. Если результаты совпадают в нужных знаках, точность достаточна. Для табличных данных с шумом измерений ошибка метода часто меньше погрешности самих данных, и дальнейшее сгущение ничего не даёт.
Требования к таблице
Узлы X вводятся по возрастанию, шаг должен быть постоянным, а количество узлов — нечётным (от трёх). Значения Y должны быть заданы в тех же точках в том же порядке. Если узлов чётное число, отбросьте крайний или добавьте ещё один замер.
Единицы измерения результата — произведение единиц Y и X: для скорости в м/с и времени в секундах получится путь в метрах. Не забывайте приводить единицы к согласованным значениям до расчёта.
Формула расчёта
∫ f(x) dx ≈ (h / 3) · [y₀ + 4y₁ + 2y₂ + 4y₃ + … + 2y₍ₙ₋₂₎ + 4y₍ₙ₋₁₎ + yₙ]
Проверенные примеры
Узлы 0; 0,5; 1; 1,5; 2, значения 0; 0,25; 1; 2,25; 4. Найдите интеграл.
h = 0,5. Сумма: 0 + 4 · 0,25 + 2 · 1 + 4 · 2,25 + 4 = 16. Интеграл ≈ 0,5 / 3 · 16 = 8/3 ≈ 2,666667 — это точное значение, поскольку формула точна для многочленов до третьей степени.
X = 0, 1, 2, 3, 4, значения Y = 1, 3, 2, 5, 4. Вычислите интеграл.
h = 1. Сумма: 1 + 4 · 3 + 2 · 2 + 4 · 5 + 4 = 41. Интеграл ≈ 41 / 3 ≈ 13,666667.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Впишите узлы X с постоянным шагом, их должно быть нечётное число, не менее трёх.
- Впишите значения функции в тех же узлах в том же порядке.
- Нажмите «Рассчитать» и прочитайте интеграл, шаг и число интервалов.