Правило дифференцирования степени
Производная xᵏ равна k · xᵏ⁻¹. Для многочлена производная берётся почленно: коэффициент aₖ умножается на показатель k, а степень уменьшается на единицу. Постоянная при дифференцировании обращается в ноль, потому что график горизонтальной прямой не меняется.
Для P(x) = 2x³ − 3x + 1 получаем 2 · 3 · x² − 3 · 1 · x⁰ + 0 = 6x² − 3. Заметьте, что член 3x превратился в число 3, а свободный член 1 исчез. Степень результата — 2, то есть на единицу ниже степени исходного многочлена.
Как записывать коэффициенты
В калькулятор коэффициенты вводятся от свободного члена к старшему: сначала a₀ при x⁰, затем a₁ при x¹ и так далее. Для 2x³ − 3x + 1 нужно ввести «1 -3 0 2», где ноль соответствует отсутствующему члену с x². Количество чисел определяет степень: четыре числа — степень 3.
Допускаются многочлены до восьмой степени, то есть до девяти коэффициентов. Если нужно дифференцировать выражение с дробными степенями, радикалами или тригонометрическими функциями, этот калькулятор не подойдёт: он работает только с многочленами.
Значение производной в точке
Число P′(x₀) равно угловому коэффициенту касательной к графику в точке x₀. Для P(x) = 2x³ − 3x + 1 в точке 2 получаем P(2) = 16 − 6 + 1 = 11 и P′(2) = 24 − 3 = 21. Это означает, что вблизи x = 2 многочлен растёт примерно на 21 единицу при увеличении x на единицу.
Если P′(x₀) = 0, касательная горизонтальна, и в этой точке возможен экстремум. Например, для x² − 4x производная 2x − 4 обращается в ноль при x = 2, а там находится минимум параболы. Поэтому производную часто приравнивают к нулю при поиске наибольших и наименьших значений.
Ещё несколько примеров
Для 0,5x² − 1 производная равна x, а при x₀ = −2 получаем −2: функция в этой точке убывает. Для линейной функции 2 − x производная постоянна и равна −1 при любом x. Для константы 5 производная равна нулю в любой точке.
Для многочлена 9x⁸ + 8x⁷ + … + 2x + 1 при x = 1 значение P равно сумме коэффициентов 45, а P′(1) = 72 + 56 + 42 + 30 + 20 + 12 + 6 + 2 = 240. Для проверки полезно сравнить сумму k · aₖ с результатом калькулятора.
Что калькулятор не делает
Он не вычисляет производные высших порядков, не раскладывает на множители и не упрощает произвольные выражения. Это ограниченная модель для многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше восьмой, а не система компьютерной алгебры.
Для интегрирования многочленов воспользуйтесь соседним калькулятором определённого интеграла. Вместе они позволяют проверить основную теорему анализа: производная первообразной возвращает исходный многочлен.
Формула расчёта
(Σ aₖ·xᵏ)′ = Σ k·aₖ·xᵏ⁻¹
Проверенные примеры
Найдите P′(x) и P′(2).
P′(x) = 6x² − 3; P′(2) = 24 − 3 = 21; P(2) = 16 − 6 + 1 = 11.
Найдите P′(−2).
P′(x) = x, поэтому P′(−2) = −2; P(−2) = 2 − 1 = 1.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Запишите многочлен и выпишите коэффициенты, начиная со свободного члена. Нулевые степени вводите как 0.
- Укажите точку x₀, в которой нужно знать значение.
- Нажмите «Рассчитать»: получите запись производной и числа P(x₀) и P′(x₀).