Как найти первообразную многочлена
Первообразной называют функцию, производная которой равна исходной. Для степени xᵏ первообразная равна xᵏ⁺¹/(k + 1): показатель увеличивается на единицу, а коэффициент делится на новый показатель. Это правило применяется к каждому члену многочлена отдельно.
Для P(x) = 2 + 3x² получаем F(x) = 2x + 3x³/3 = 2x + x³. Если дифференцировать F, мы вернёмся к 2 + 3x², поэтому результат верен. В калькуляторе выводится первообразная при C = 0, поскольку константа интегрирования при вычитании на пределах сокращается.
Формула Ньютона — Лейбница
Определённый интеграл от a до b равен F(b) − F(a). Для ∫₀³ (2 + 3x²) dx получаем F(3) − F(0) = (6 + 27) − 0 = 33. Для 1 − 3x + 2x³ на отрезке от 0 до 2 первообразная равна x − 1,5x² + 0,5x⁴, значит интеграл равен 2 − 6 + 8 = 4.
Формула работает потому, что F(b) − F(a) равно накопленному изменению первообразной, а скорость её изменения — это подынтегральная функция. Эту связь между интегралом и производной называют основной теоремой математического анализа.
Знак интеграла и площадь
Интеграл учитывает знак функции: области под осью абсцисс вычитаются. Нечётная функция x на промежутке от −1 до 1 даёт интеграл 0, хотя площадь фигуры не нулевая, ведь две равные части лежат по разные стороны от оси. Поэтому для площади нужно считать интегралы отдельно между корнями многочлена и складывать их модули.
При перестановке пределов знак интеграла меняется: ∫₂⁰ = −∫₀². Калькулятор допускает такой ввод. Для многочлена 3x + 3x³ интеграл от 2 до 0 равен −18, а от 0 до 2 — 18.
Ввод коэффициентов и проверка
Коэффициенты записываются от свободного члена к старшему. Для 2 + 3x² введите «2 0 3», где ноль означает отсутствие члена с x¹. Допускаются дробные числа через точку или запятую. Степень многочлена не должна превышать восьми.
Для самопроверки продифференцируйте первообразную с помощью соседнего калькулятора производной либо оцените интеграл приближённо методом трапеций по таблице значений: результаты должны совпасть в пределах погрешности метода.
Границы применимости
Калькулятор работает только с многочленами. Интегралы от дробей, корней, логарифмов и тригонометрических функций здесь не вычисляются. Для таких задач применяют численные методы по таблицам значений, например трапеций или Симпсона.
Значения пределов и коэффициентов ограничены общими правилами движка, а результаты вычисляются в двоичной арифметике и могут отличаться от бумажных на последнем знаке. Для строгих доказательств используйте точные дроби и символьные преобразования.
Формула расчёта
∫ₐᵇ P(x) dx = F(b) − F(a), F(x) = Σ aₖ·xᵏ⁺¹/(k+1)
Проверенные примеры
Вычислите интеграл.
F(x) = 2x + x³, F(3) − F(0) = 6 + 27 = 33.
Вычислите интеграл.
F(x) = x − 1,5x² + 0,5x⁴, F(2) = 2 − 6 + 8 = 4, F(0) = 0, ответ 4.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Запишите коэффициенты многочлена от свободного члена к старшему.
- Укажите нижний и верхний пределы интегрирования.
- Нажмите «Рассчитать»: получите первообразную и значение F(b) − F(a).