Вывод решения
Пусть a ≠ 0. Введём новую функцию z = y + b/a. Тогда z′ = y′ = a·y + b = a·(y + b/a) = a·z, то есть для z получается простейшее уравнение показательного роста. Его решение z(t) = z(0)·eᵃᵗ, где z(0) = y₀ + b/a.
Возвращаясь к y, получаем y(t) = (y₀ + b/a)·eᵃᵗ − b/a. Проверка подстановкой: производная y′ = a·(y₀ + b/a)·eᵃᵗ, а a·y + b = a·(y₀ + b/a)·eᵃᵗ − b + b — выражения совпадают. При t = 0 формула возвращает y₀.
Особый случай a = 0
Если a = 0, уравнение превращается в y′ = b: скорость постоянна, и решение y(t) = y₀ + b·t линейно. Подставлять a = 0 в общую формулу нельзя — в ней стоит деление на a, поэтому калькулятор обрабатывает этот случай отдельно.
Предельный переход подтверждает согласованность: (eᵃᵗ − 1)/a стремится к t при a → 0, и общая формула, записанная как y₀·eᵃᵗ + b·(eᵃᵗ − 1)/a, переходит в y₀ + b·t. Именно такая запись и используется для устойчивого вычисления.
Три режима: затухание, рост, равномерное изменение
При a < 0 члены уравнения «тянут» решение к равновесию −b/a: чем дальше y от него, тем быстрее приближение. Для y′ = −0,5·y + 10 равновесие равно 20, и из нуля решение выходит на уровень 17,29 за 4 часа, 19,63 за 8 часов, оставаясь ниже 20 всегда.
При a > 0 равновесие неустойчиво. Для y′ = 0,05·y + 100 и y₀ = 1000 равновесие равно −2000, а решение y(t) = 3000·e^(0,05t) − 2000 растёт всё быстрее: через 10 лет 2946,16. Если y₀ = −b/a, решение постоянно при любом знаке a.
Типичные модели
Закон охлаждения Ньютона T′ = −k·(T − Tₛ) приводится к виду y′ = a·y + b при a = −k и b = k·Tₛ. Смесь вещества в баке с постоянным притоком и пропорциональным оттоком описывается тем же уравнением, где равновесие — установившаяся концентрация.
Для финансовой модели с непрерывным начислением процентов a — ставка, а b — скорость пополнения. Это приближение: реальные банки начисляют дискретно, и результаты будут немного отличаться от непрерывной модели.
Ограничения калькулятора
Расчёт выполняется по аналитической формуле, а не численным интегрированием, поэтому шаг сетки не влияет на точность. Однако допускаются только постоянные a и b; уравнения с переменными коэффициентами, нелинейные и системы требуют иных методов.
Для защиты от переполнения принимаются значения |a·t| ≤ 50, время до 10⁴, а модули y₀ и b не выше 10⁸. Результат по модулю не должен превышать 10¹⁵. Если ввод нарушает эти пределы, калькулятор сообщит об ошибке, а не вернёт неверное число.
Формула расчёта
y′ = a·y + b, y(t) = (y₀ + b/a)·eᵃᵗ − b/a (a ≠ 0), y(t) = y₀ + b·t (a = 0)
Проверенные примеры
В ёмкость поступает 10 единиц в час, а за час выводится 50% содержимого: y′ = −0,5·y + 10, y(0) = 0. Сколько вещества будет через 4 часа?
Равновесие −b/a = 20. Здесь b/a = −20, поэтому y(4) = (0 − 20)·e⁻² + 20 = 20·(1 − e⁻²) ≈ 17,293.
Счёт 1000 растёт с непрерывной ставкой 5% и пополняется со скоростью 100 в год: y′ = 0,05·y + 100. Чему равен счёт через 10 лет?
y(10) = (1000 + 2000)·e^0,5 − 2000 ≈ 2946,16.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите начальное значение y₀ и коэффициенты a и b.
- Укажите момент времени t ≥ 0.
- Нажмите «Рассчитать» и прочитайте y(t).