Физический смысл производной
Средняя скорость на промежутке равна отношению пройденного пути ко времени. Если промежуток сжимать до мгновения, отношение приближается к определённому числу — мгновенной скорости в данный момент.
Строгое определение: v(t) = lim (s(t + h) − s(t)) / h при h → 0. Эта величина совпадает с наклоном касательной к графику пути.
Правила дифференцирования многочлена
Производная константы равна нулю, производная a·tᵏ равна k·a·tᵏ⁻¹, а производная суммы равна сумме производных. Эти три правила достаточны для любых многочленов.
Поэтому для s(t) = a₀ + a₁t + a₂t² получаем v(t) = a₁ + 2a₂t, а ускорение a(t) = 2a₂ — постоянная величина, как и должно быть при равноускоренном движении.
Разбор числового примера
Пусть s(t) = 5 + 2t + 3t². Положение при t = 2: 5 + 4 + 12 = 21. Скорость v(t) = 2 + 6t, при t = 2 получаем 14. Ускорение постоянно и равно 6.
Для свободного падения s = 4,9·t²: в момент t = 3 с положение 44,1 м, скорость 29,4 м/с. Это согласуется с известной формулой v = g·t при g = 9,8 м/с².
Как читать результат
Положительная скорость означает движение в положительном направлении оси, отрицательная — в противоположном, а нулевая — мгновенную остановку или точку разворота. Для s = 12t − 2t² при t = 3 скорость равна 0: тело в наивысшей точке.
Положение и скорость нужно интерпретировать вместе: тело может находиться далеко от начала и при этом стоять, а может проходить начало с большой скоростью.
Как правильно вводить коэффициенты
Коэффициенты вводят в порядке возрастания степеней: свободный член, коэффициент при t, при t², и так далее. Пропущенную степень обязательно заменяют нулём: для s = 1 + t³ вводят «1 0 0 1».
Распространённая ошибка — ввести коэффициенты в порядке убывания степеней, привычном для записи на бумаге. Тогда закон окажется «перевёрнутым», и ответ будет неверным.
Границы применимости
Многочлен описывает движение приближённо и только на ограниченном промежутке времени. За его пределами экстраполяция может давать абсурдные значения, например отрицательное время падения.
Для реальных измерений положение известно лишь в отдельные моменты. Тогда скорость оценивают по разности соседних замеров, а не по производной многочлена.
От скорости к ускорению и графикам
Дифференцируя скорость ещё раз, получают ускорение. Для многочлена второй степени оно постоянно, для третьей — линейно меняется со временем. Калькулятор можно применить дважды, введя коэффициенты скорости и получив ускорение как производную.
График скорости полезно сопоставить с графиком пути: там, где путь растёт быстрее всего, скорость наибольшая, а в точках экстремума пути скорость обращается в нуль.
Проверяйте размерности: если путь в метрах, а время в секундах, то скорость в м/с, ускорение в м/с².
Если нужно найти момент остановки, решите уравнение v(t) = 0. Для закона s = 12t − 2t² оно даёт t = 3, и именно в этот момент тело меняет направление движения.
Наконец, сравните мгновенную скорость со средней за интервал: для равноускоренного движения она совпадает со скоростью в середине интервала.
Формула расчёта
v(t) = s′(t), s(t) = a₀ + a₁t + a₂t² + … ⇒ v(t) = a₁ + 2a₂t + 3a₃t² + …
Проверенные примеры
Найти положение и скорость в момент t = 2.
s(2) = 5 + 4 + 12 = 21; v(t) = 2 + 6t, v(2) = 14.
s(t) = 4,9·t² (метры), момент t = 3 с.
s(3) = 44,1 м; v = 9,8·t, v(3) = 29,4 м/с.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Запишите закон движения как многочлен по степеням t.
- Введите коэффициенты от свободного члена к старшему через пробел.
- Укажите момент времени t.
- Результат P′(x₀) — мгновенная скорость, P(x₀) — положение тела.