Математическая модель и формула
Строит линейное приближение поверхности z(x,y), проверяет фактическое отклонение при малом перемещении. Исходная зависимость записывается так: z=A·e^(kx)cos(ωy)+bxy; z≈z₀+zₓΔx+zᵧΔy. В отличие от одной арифметической операции, результат получается из последовательности математических шагов. Выражение используется целиком; за каждым коэффициентом закреплён собственный математический смысл.
Первым делом стоит определить, к каким переменным относится зависимость. В этой модели амплитуда a задаёт значение 2, а экспоненциальный показатель k — 0.2. При изменении этих величин алгоритм заново вычисляет зависимые результаты, а не преобразует уже готовый ответ по простому коэффициенту.
Как выбрать исходные данные
Нужно заполнить 8 полей: Амплитуда A, Экспоненциальный показатель k, Угловая частота ω, Смешанный коэффициент b, Опорная координата x, Опорная координата y, Смещение Δx, Смещение Δy. Для каждого поля установлен допустимый диапазон, и недопустимые значения приводят к понятной ошибке, а не к случайному числу.
Параметры формы не являются декоративными. Например, допустимые значения для «Амплитуда A» — от -20 до 20, а для «Угловая частота ω» — от 0.01 до 10. Отдельные математические ограничения проверяются дополнительно к этим общим границам ввода.
Чтение и проверка результатов
Основные результаты включают: Высота в опорной точке, Градиент по x, Градиент по y, Предсказание по касательной плоскости. Связанные величины позволяют обнаружить неправильный исходный сценарий и сравнить варианты без ручного повторения всех формул.
На числовом примере по умолчанию показатель «Предсказание по касательной плоскости» составляет 2.2750916. Измените «Амплитуда A», сохранив прочие данные, а затем отдельно «Экспоненциальный показатель k». Так можно проследить влияние двух независимых исходных факторов, не смешивая их эффект с изменением остальных условий расчёта.
Условия применимости и точность
Касательная плоскость — линейное приближение в опорной точке; ошибка увеличивается при больших смещениях. В вычислениях используется двойная точность; там, где интеграл находится численно, точность зависит от метода и масштаба исходных данных.
Результаты следует понимать в рамках записанной зависимости: z=A·e^(kx)cos(ωy)+bxy; z≈z₀+zₓΔx+zᵧΔy. При вводе «Смещение Δy» в качестве исходного значения 0.2 подразумеваются все остальные настройки контрольного примера. За пределами этих условий выводы могут меняться: необходимо проверять границы, существование производных, допустимость интеграла и устойчивость численного метода — когда это относится к задаче.
Формула расчёта
z=A·e^(kx)cos(ωy)+bxy; z≈z₀+zₓΔx+zᵧΔy
Проверенные примеры
Пусть Амплитуда A = 2, Экспоненциальный показатель k = 0.2, Угловая частота ω = 1.3, Смешанный коэффициент b = 0.4. Для остальных полей оставьте значения, показанные в форме. Найдите основные показатели.
При указанных параметрах получаем: Высота в опорной точке = 2.379373, Градиент по x = 0.5718746, Градиент по y = -0.8073443. Для проверки используются формула «z=A·e^(kx)cos(ωy)+bxy; z≈z₀+zₓΔx+zᵧΔy» и независимый эталонный расчёт.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите исходные величины для модели «Касательная плоскость к показательно-тригонометрической поверхности»: Амплитуда A, Экспоненциальный показатель k, Угловая частота ω.
- Укажите оставшиеся параметры (Смешанный коэффициент b, Опорная координата x, Опорная координата y, Смещение Δx, Смещение Δy) и запустите вычисление.
- Для анализа сопоставьте результаты «Высота в опорной точке» и «Градиент по x». Касательная плоскость — линейное приближение в опорной точке; ошибка увеличивается при больших смещениях.