Идея: накопление малых смещений
За очень малое время dt тело смещается примерно на v(t)·dt. Складывая такие смещения по всему промежутку от t₁ до t₂, получаем интеграл. Это сумма с учётом знака: движение вперёд даёт положительные слагаемые, назад — отрицательные.
Поэтому интеграл от скорости — это перемещение, то есть изменение координаты, а не длина пройденной траектории. Для движения без разворотов обе величины совпадают.
Интегрирование многочлена
Для скорости v(t) = c₀ + c₁t + c₂t² первообразная имеет вид F(t) = c₀t + c₁t²/2 + c₂t³/3, то есть каждый член делится на новую степень. Перемещение равно F(t₂) − F(t₁).
Например, при v = 4t + 2t² за первые три секунды F(t) = 2t² + (2/3)t³, откуда F(3) − F(0) = 18 + 18 = 36 м. Калькулятор выполняет именно такие операции для степеней до восьмой.
Пример со сменой знака скорости
Возьмём v(t) = 6t − 3t². Скорость положительна на промежутке от 0 до 2 с и отрицательна после двух секунд: тело сначала едет вперёд, затем возвращается. Первообразная равна F(t) = 3t² − t³.
За первые 2 с перемещение равно 12 − 8 = 4 м. За 3 с оно равно 27 − 27 = 0 м: тело вернулось в начальную точку. Пройденный путь при этом 4 + 4 = 8 м. Ровно здесь и нужно различать две величины.
Как вычислить пройденный путь
Найдите моменты, когда скорость обращается в нуль. Для 6t − 3t² это t = 0 и t = 2. Разбейте промежуток на части с постоянным знаком скорости, вычислите интеграл на каждой и сложите модули результатов.
Калькулятор можно запускать несколько раз: сначала для промежутка от 0 до 2 (4 м), потом от 2 до 3 (−4 м). Путь равен 4 + |−4| = 8 м. Знак отрицательного результата показывает направление движения назад.
Порядок пределов и единицы
Если ввести t₂ меньше t₁, знак результата изменится: интеграл от 3 до 0 равен минус интегралу от 0 до 3. Для задачи о времени это означает «обратный ход», который физически не имеет смысла, поэтому пределы вводят по возрастанию.
Единицы должны быть согласованы. Если время вводится в секундах, а скорость в метрах в секунду, результат получится в метрах. Смешение минут и секунд — частый источник ошибок на два порядка.
Ограничения модели
Калькулятор принимает скорость только в виде многочлена. Реальные зависимости (экспоненты, колебания, кусочные законы) в него не вводятся, хотя иногда их удаётся приблизить многочленом на коротком промежутке.
Начальное положение тела калькулятор не использует: он даёт приращение координаты. Чтобы получить координату в момент t₂, добавьте перемещение к координате в момент t₁.
Формула расчёта
s = ∫ v(t) dt от t₁ до t₂ = F(t₂) − F(t₁)
Проверенные примеры
Найдите перемещение за первые две секунды.
F(t) = 3t² − t³, F(2) − F(0) = 12 − 8 = 4 м.
Чему равно перемещение за три секунды?
F(3) − F(0) = 27 − 27 = 0 м: тело вернулось в исходную точку. Путь при этом 4 + 4 = 8 м.
Найдите перемещение.
F(t) = 5t + t³/15, F(10) = 50 + 66,667 = 116,667 м.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Запишите скорость многочленом v(t) = c₀ + c₁t + c₂t² + … в единицах длины за единицу времени.
- Введите коэффициенты через пробел от c₀ к старшей степени, затем моменты t₁ и t₂.
- Нажмите «Вычислить»: значение F(b) − F(a) — перемещение за промежуток.
- Чтобы получить пройденный путь, найдите моменты, где v(t) = 0, и сложите модули перемещений на участках с постоянным знаком скорости.