Откуда берётся уравнение высоты
При равноускоренном движении по вертикали высота равна h(t) = h₀ + v₀·t − g·t²/2. Здесь h₀ — начальная высота, v₀ — начальная скорость, направленная вверх, g — ускорение свободного падения, которое в школьных задачах принимают равным 9,8 м/с².
Приравняв высоту к нулю, получаем квадратное уравнение с коэффициентами a = −g/2, b = v₀ и c = h₀. Именно эти числа вводятся в калькулятор. Если тело бросают вниз, скорость v₀ вводится со знаком минус, потому что направление вверх принято положительным.
Формула корней и роль дискриминанта
Корни находятся по формуле t = (−b ∓ √D) / (2a), где D = b² − 4ac. Если начальная высота неотрицательна, а a отрицательно, то произведение 4ac не положительно, и дискриминант не меньше b², поэтому вещественные корни существуют.
Дискриминант D = 0 означает единственную точку касания. В задаче о падении он встречается при v₀ = 0 и h₀ = 0, то есть когда тело просто лежит на земле.
Разбор примера с брошенным мячом
Мяч брошен вверх со скоростью 12 м/с с высоты 1,5 м. Уравнение −4,9t² + 12t + 1,5 = 0, дискриминант 12² + 4·4,9·1,5 = 144 + 29,4 = 173,4, корень из него около 13,168. Получаем t₁ = (−12 − 13,168) / (−9,8) ≈ 2,568 с и t₂ ≈ −0,119 с.
Положительный корень 2,57 с — время до приземления. Отрицательный показывает, что воображаемая траектория пересекала бы нулевую высоту за 0,12 с до броска, и в задаче он отбрасывается. Максимальную высоту подъёма этот калькулятор не показывает: для неё нужна вершина параболы при t = v₀/g.
Как выбирать нужный корень
Время в задаче о полёте не может быть отрицательным, поэтому подходит неотрицательный корень. При c ≥ 0 произведение корней c/a не положительно по теореме Виета, поэтому корни имеют разные знаки или один из них равен нулю, и неотрицательный корень оказывается единственным.
Простая проверка: подставьте найденное время в h(t). Значение должно получиться нулевым с точностью до округления.
Другие значения ускорения свободного падения
Те же формулы работают на другой планете, если подставить её g. Для g ≈ 1,62 м/с² получается a = −0,81, и тот же бросок с 1,5 м длится около 14,9 секунды. Время растёт, потому что тяжесть слабее.
Для малых высот вблизи поверхности Земли значение 9,8 м/с² считают постоянным, а точное g чуть зависит от широты и высоты над уровнем моря.
Допущения и границы модели
Расчёт не учитывает сопротивление воздуха, ветер и вращение. Для лёгких предметов вроде пенопластового шарика или для больших скоростей реальное время падения заметно отличается от идеального.
Модель применима и к учебным задачам, и к грубым оценкам, но не к проектированию, где требуется учёт аэродинамики. Результат стоит округлять до разумного числа знаков: исходные скорость и высота известны не точнее двух-трёх значащих цифр.
Формула расчёта
t = (−b ∓ √(b² − 4ac)) / (2a)
Проверенные примеры
Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 12 м/с с высоты 1,5 м, g = 9,8 м/с². Когда он упадёт на землю?
Уравнение −4,9t² + 12t + 1,5 = 0, дискриминант 144 + 29,4 = 173,4. Корни t ≈ 2,5682 с и t ≈ −0,1192 с. Подходит положительный: мяч упадёт примерно через 2,57 с.
Тело отпускают с высоты 44,1 м. Найти время падения.
Уравнение −4,9t² + 44,1 = 0 даёт t = ±3. Положительный корень 3 с — время падения.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Запишите высоту как h(t) = −(g/2)·t² + v₀·t + h₀ и приравняйте её к нулю.
- Введите a = −g/2, b = v₀ и c = h₀ в соответствующие поля.
- Нажмите «Вычислить» и получите два корня уравнения.
- Выберите неотрицательный корень: он и есть время приземления в секундах.