Как записывать многочлен
Коэффициенты вводятся от старшей степени к младшей, через пробел, точку с запятой или с новой строки. Запись «1 −6 11 −6» означает x³ − 6x² + 11x − 6. Нулевые коэффициенты нужно писать явно: многочлен x⁴ − 1 вводится как «1 0 0 0 −1». Допустимы от двух до семи чисел, то есть степени от первой до шестой.
Такой порядок совпадает с записью в учебниках и со схемой Горнера, поэтому из таблицы деления можно сразу читать коэффициенты частного. Если старший коэффициент равен нулю, калькулятор попросит убрать его: иначе степень многочлена была бы определена неверно.
Корни: вещественные и комплексные
Корни ищутся итерационным методом Аберта–Эрлиха, который одновременно приближает все n корней, в том числе комплексные. Вещественные корни затем уточняются методом Ньютона. Результат выводится в виде списка и таблицы с модулем каждого корня; пары комплексно сопряжённых корней идут рядом.
Проверкой служат формулы Виета: сумма корней равна −a₁/a₀, а произведение равно (−1)ⁿ·aₙ/a₀. Обе величины показаны отдельно, так что можно убедиться, что найденный набор корней согласован с коэффициентами. Кратные корни находятся с меньшей точностью, поэтому для них полезно подставить значение вручную.
Производные, экстремумы и интеграл
Для многочлена производная и первообразная получаются почленно: степень понижается или повышается на единицу. Локальные экстремумы — вещественные корни первой производной; максимум или минимум определяется знаком второй производной, а при её нулевом значении — сравнением значений слева и справа от точки.
Определённый интеграл на отрезке считается по формуле Ньютона–Лейбница, а наибольшее и наименьшее значения — среди концов отрезка и критических точек внутри него. Это ровно та задача, которую решают на экзамене по математическому анализу, только без ручной арифметики и с таблицей значений P, P′ и P″.
Деление на (x − c) по схеме Горнера
Схема Горнера делит многочлен на двучлен (x − c) за n умножений и показывает каждый шаг в таблице. По теореме Безу остаток равен значению P(c), поэтому тот же приём вычисляет значение многочлена без возведения в степень: так считают на микроконтроллерах и в быстрых численных программах.
Если остаток равен нулю, c является корнем, и калькулятор дополнительно определяет его кратность, многократно деля частное на тот же двучлен. Это удобно при разложении на множители: найдя один рациональный корень, вы переходите к многочлену на единицу меньшей степени.
Построение многочлена по корням
Обратная задача: заданы вещественные корни и старший коэффициент, нужно раскрыть скобки в выражении a·(x − x₁)…(x − xₖ). Калькулятор перемножает двучлены по очереди и выдаёт коэффициенты, значение в нуле, сумму коэффициентов P(1) и производную полученного многочлена.
Вторая таблица содержит симметрические суммы корней, которые по формулам Виета связаны с коэффициентами. Этот режим пригодится преподавателям при составлении задач с заранее известным ответом, а студентам — для самопроверки разложения на множители.
Формула расчёта
P(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + … + aₙ; P(x) = (x − c)·Q(x) + P(c); ∑xᵢ = −a₁/a₀; ∏xᵢ = (−1)ⁿ·aₙ/a₀
Проверенные примеры
Точка x₀ = 2,5, отрезок [0; 4].
Корни 1; 2; 3, P(2,5) = −0,375, максимум 0,3849 при x ≈ 1,4226 и минимум −0,3849 при x ≈ 2,5774, интеграл на [0; 4] равен 0.
Поделить 2x⁴ − 3x³ + 5x − 7 на (x − 2).
Частное 2x³ + x² + 2x + 9, остаток 11: многочлен нацело не делится.
Старший коэффициент 2.
2x³ − 4x² − 10x + 12, свободный член 12.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выберите режим: анализ, деление на (x − c) или сборка по корням.
- Введите коэффициенты от старшего к младшему (или корни) и точку x₀.
- Для анализа задайте отрезок и число точек таблицы.
- Изучите корни, экстремумы и таблицы, при необходимости скачайте их в Excel.