Формула n-го члена
Если первый член равен a₁, а разность d, то второй член равен a₁ + d, третий — a₁ + 2d, и так далее. Чтобы дойти до члена с номером n, нужно сделать n − 1 шагов, поэтому aₙ = a₁ + (n − 1)·d. Номер в формуле уменьшается на единицу именно потому, что первый член не требует ни одного шага.
Формула линейна по n, поэтому график членов прогрессии — точки на одной прямой. Разность d задаёт наклон: при d > 0 члены растут, при d < 0 убывают, а при d = 0 последовательность постоянна.
Разбор числовых примеров
Пусть a₁ = 5 и d = 3: прогрессия 5, 8, 11, 14, … Двадцатый член a₂₀ = 5 + 19 · 3 = 62. Сумма первых двадцати членов равна 20 · (5 + 62) / 2 = 670: число членов умножается на полусумму крайних.
Для убывающей прогрессии с a₁ = 100 и d = −7 пятнадцатый член равен 100 − 14 · 7 = 2. Следующий, шестнадцатый, уже отрицателен: 2 − 7 = −5. Это важно учитывать в задачах, где величина физически не может стать отрицательной, например остаток товара на складе.
Обратные задачи
Часто спрашивают, на каком месте стоит заданное число b. Из aₙ = b следует n = (b − a₁) / d + 1. В прогрессии 5, 8, 11, … число 98 стоит на месте (98 − 5) / 3 + 1 = 32, а число 100 даёт нецелое 32,67, поэтому в прогрессию не входит.
Если известны два произвольных члена aₖ и aₘ, разность находится как d = (aₘ − aₖ) / (m − k), после чего легко восстановить первый член. Например, при a₃ = 11 и a₈ = 31 получаем d = 4 и a₁ = 3.
Связь с суммой первых n членов
Сумма первых n членов равна Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2 = n·(2a₁ + (n − 1)·d) / 2. Идея принадлежит школьному преданию о Гауссе: слагаемые попарно с обоих концов дают одинаковую сумму a₁ + aₙ, и таких пар n / 2.
Калькулятор выводит обе величины сразу, потому что в задачах они часто идут вместе: например, сколько всего уложено кирпичей в ряд и сколько их в последнем ряду. Если нужна только сумма по другим исходным данным, воспользуйтесь отдельным калькулятором суммы прогрессии.
Ограничения и типичные ошибки
Самая частая ошибка — подстановка n вместо n − 1 в формуле, из-за чего результат сдвигается на одну разность. Проверяйте себя на n = 1: формула обязана вернуть a₁. Калькулятор для n = 1 всегда выдаёт первый член без прибавок.
Номер должен быть целым и не превышать 100 000, а значения — не больше 10¹⁵ по модулю. Если разность задана десятичной дробью, учитывайте накопление округлений при ручном счёте; здесь формула применяется напрямую, без последовательного сложения.
Формула расчёта
aₙ = a₁ + (n − 1)·d; Sₙ = n·(2a₁ + (n − 1)·d) / 2
Проверенные примеры
Первый член 5, разность 3. Найдите a₂₀.
a₂₀ = 5 + 19 · 3 = 62. Сумма первых двадцати членов S₂₀ = 20 · (10 + 57) / 2 = 670.
a₁ = 100, d = −7. Чему равен 15-й член?
a₁₅ = 100 + 14 · (−7) = 2. Сумма S₁₅ = 15 · (200 − 98) / 2 = 765.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите первый член прогрессии a₁.
- Введите разность d — число, на которое каждый член больше предыдущего.
- Укажите номер n и нажмите «Рассчитать».