Приём Гаусса: сложение парами
Запишем сумму дважды: сначала по возрастанию, потом по убыванию. Первое число складывается с последним, второе с предпоследним, и каждая пара даёт одно и то же значение 101 для ряда от 1 до 100. Пар получается 100, но сумма в двух записях сдвоена, поэтому ответ равен половине.
Отсюда 100·101 / 2 = 5050. Тот же вывод можно проверить, разбив ряд на 50 пар (1 + 100, 2 + 99, …), каждая из которых равна 101.
Приём работает потому, что в ряду с постоянным шагом сумма чисел, равноотстоящих от концов, одинакова. Поэтому достаточно знать среднее значение первого и последнего слагаемых и умножить его на количество чисел.
Общая формула и её обозначения
Для ряда с первым числом a, шагом d и n слагаемыми сумма равна S = n·(2a + (n − 1)·d) / 2. В частном случае a = 1 и d = 1 получается известное n(n + 1) / 2.
Если известно последнее число L, формулу удобно записать как S = n·(a + L) / 2: среднее арифметическое первого и последнего чисел умножается на их количество.
Чётные и нечётные числа
Чтобы сложить чётные числа от 2 до 100, нужно взять a = 2, d = 2 и n = 50. Получаем 50·(4 + 98) / 2 = 2550, то есть 50·51. Для нечётных от 1 до 99 при a = 1, d = 2 и n = 50 результат равен 2500.
Совпадение с квадратом не случайно: сумма первых n нечётных чисел всегда равна n². Это один из самых красивых фактов элементарной арифметики. Геометрически он означает, что квадрат со стороной n можно разложить на угловые уголки из 1, 3, 5 и так далее клеток.
Как правильно определить количество слагаемых
Главная ошибка — вводить в поле количества последнее число ряда. Для чисел от 5 до 14 слагаемых десять, а не четырнадцать: n = (14 − 5) / 1 + 1 = 10, и сумма равна 10·19 / 2 = 95.
Для чётных до 100 количество равно 50, а не 100. Всегда считайте, сколько шагов помещается между первым и последним числом, и прибавляйте единицу.
Отрицательные числа и убывающие ряды
Формула работает и для отрицательных значений. Ряд от −5 до 5 при шаге 1 содержит 11 чисел, и их сумма равна нулю, потому что каждое число компенсируется противоположным.
Убывающий ряд задаётся отрицательным шагом: 10 + 9 + … + 1 можно ввести как a = 10, d = −1, n = 10, и получится 55 — тот же результат, что и для возрастающего порядка.
Когда формула неприменима
Метод требует постоянного шага. Для сумм квадратов, кубов или геометрических рядов применяются другие формулы, поэтому сначала убедитесь, что соседние числа действительно отличаются на одну и ту же величину.
Калькулятор выводит сумму, но не печатает слагаемые. Для проверки на малых n можно сложить числа вручную: например, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, и формула 5·6 / 2 даёт то же значение.
Результат вычисляется в числах с плавающей точкой, поэтому для очень больших сумм с десятичным шагом возможны малые ошибки округления. Для целых рядов в допустимом диапазоне сумма получается точной.
Формула расчёта
S = n·(2a + (n − 1)·d) / 2
Проверенные примеры
Найти 1 + 2 + … + 100.
a = 1, d = 1, n = 100: S = 100·(2 + 99) / 2 = 5050. Тот же результат даёт 50 пар по 101.
Найти 2 + 4 + … + 100.
a = 2, d = 2, n = 50: S = 50·(4 + 98) / 2 = 2550. Нечётные числа от 1 до 99 при a = 1, d = 2, n = 50 дают 2500 = 50².
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Определите первое число, шаг и количество слагаемых.
- Если известно только последнее число L, найдите n = (L − a) / d + 1.
- Введите три значения в поля калькулятора.
- Нажмите «Вычислить» и прочитайте сумму.