Как выглядит график квадратного трёхчлена
Квадратичная функция задаётся формулой y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через её вершину. Если a положительно, ветви направлены вверх, и вершина соответствует минимуму функции; если отрицательно, ветви направлены вниз, и вершина даёт максимум.
Величина |a| влияет на форму графика: при больших по модулю значениях a парабола визуально становится уже при одинаковом масштабе осей. Коэффициент c равен значению функции в точке x = 0 и показывает пересечение с вертикальной осью. Эти свойства полезны для проверки рисунка.
Формула координат вершины параболы
Абсцисса вершины определяется равенством x₀ = −b / (2a). Ордината находится подстановкой: y₀ = ax₀² + bx₀ + c. Зная вершину и направление ветвей, уже можно примерно представить график, даже не вычисляя большой набор точек.
Для функции y = x² − 4x + 3 получаем x₀ = 4 / 2 = 2. Подставляем x = 2: y₀ = 4 − 8 + 3 = −1. Значит, вершина располагается в точке (2; −1), ось симметрии имеет уравнение x = 2.
Как построить параболу по точкам
Выберите несколько значений x слева и справа от оси симметрии и вычислите соответствующие y. Для примера y = x² − 4x + 3 значения при x = 1 и x = 3 равны нулю; при x = 0 и x = 4 обе ординаты равны трём. Эти пары отражают симметрию параболы.
Калькулятор рассчитывает сто один узел по равномерной сетке вокруг вершины и соединяет соседние точки. Дополнительно отображается таблица части полученных координат. Для очень узких или быстро растущих функций важно подобрать достаточный диапазон и учитывать конечную точность численного построения.
Как определить пересечения с осью X
Точки пересечения с горизонтальной осью удовлетворяют условию y = 0, то есть квадратному уравнению ax² + bx + c = 0. Количество таких точек зависит от дискриминанта D = b² − 4ac. При положительном D пересечения два, при D = 0 одно касание, при отрицательном D пересечений с осью X нет.
Для y = x² − 4x + 3 дискриминант равен 16 − 12 = 4, поэтому корни — 1 и 3. График проходит через точки (1; 0) и (3; 0). Для получения точных численных корней можно воспользоваться отдельным калькулятором квадратных уравнений.
Ошибки масштаба и особенности графика
Если диапазон просмотра выбран слишком узким, существенная часть графика может оказаться за пределами окна. Если диапазон слишком широк, важная область около вершины может визуально сжаться. Поэтому масштаб рекомендуется подбирать под задачу, а не делать выводы только по форме линии на экране.
При коэффициенте a = 0 функция становится линейной, и построение параболы невозможно: калькулятор справедливо отклонит такой ввод. Построение основано на численных точках и не является системой символьного анализа или доказательства свойств функции.
Формула расчёта
y = ax² + bx + c; x вершины = −b / (2a).
Проверенные примеры
y = x² − 4x + 3
Вершина (2, −1), ветви вверх.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Заполните поля исходными значениями.
- Нажмите «Рассчитать» для получения результата.
- При необходимости изучите формулу, пояснение и ограничения.