Как распознать квадратное уравнение
Квадратным называют уравнение второй степени: самый высокий показатель неизвестной равен двум. Коэффициент при x² должен быть отличен от нуля; иначе уравнение становится линейным или вовсе вырожденным. Примеры: x² − 3x + 2 = 0 и 2x² + 5x − 7 = 0.
Перед вводом приведите выражение к стандартному виду, собрав все слагаемые в одной части, а в другой оставив ноль. Если в записи отсутствует член с x, его коэффициент b равен нулю; если нет свободного члена, то c = 0. Знаки коэффициентов необходимо сохранить.
Дискриминант и количество корней
Дискриминант вычисляется по формуле D = b² − 4ac. Если D больше нуля, у уравнения два различных действительных корня. Если D равен нулю, они совпадают. При D меньше нуля действительных корней нет, но существуют два комплексно-сопряжённых корня.
Дискриминант полезен ещё до вычисления самих корней. Например, для x² + 1 = 0 получаем D = −4: в действительных числах решений нет. В комплексной области корни равны +i и −i. Калькулятор показывает действительную часть и модуль мнимой составляющей.
Формула корней и пример решения
Стандартная формула имеет вид x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a). Для уравнения x² − 3x + 2 = 0 коэффициенты равны 1, −3 и 2. Дискриминант равен 9 − 8 = 1; корни получаются (3 + 1)/2 = 2 и (3 − 1)/2 = 1.
Чтобы проверить ответ, подставьте каждый корень в первоначальное уравнение. Для x = 2: 4 − 6 + 2 = 0; для x = 1: 1 − 3 + 2 = 0. Этот шаг особенно важен, когда коэффициенты дробные или перед раскрытием скобок можно ошибиться со знаком.
Когда полезны формулы Виета
Для приведённого квадратного уравнения с a = 1 сумма корней равна −b, а произведение равно c. В общем виде сумма равна −b/a, произведение — c/a. Теорема Виета помогает проверять найденные корни и иногда быстро угадывать их для небольших целых коэффициентов.
Например, у уравнения x² − 5x + 6 = 0 сумма корней должна быть 5, а произведение — 6. Числа 2 и 3 удовлетворяют обоим условиям. Однако для произвольных действительных коэффициентов надёжнее использовать дискриминант и формулу корней.
Ошибки при введении коэффициентов
Не забывайте, что коэффициент b может быть отрицательным, а «−b» в формуле означает изменение знака уже введённого коэффициента. Другая частая ошибка — считать корень из отрицательного дискриминанта в действительных числах, забыв про комплексные решения.
Для очень больших и близких по модулю коэффициентов вычисления с плавающей точкой могут давать небольшую числовую погрешность. Проверяйте найденные корни подстановкой, особенно в задачах, требующих точного символического ответа в виде дробей и радикалов.
Формула расчёта
D = b² − 4ac; x = (−b ± √D) / 2a.
Проверенные примеры
x² − 3x + 2 = 0
D = 9 − 8 = 1; x₁ = 1; x₂ = 2.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Заполните поля исходными значениями.
- Нажмите «Рассчитать» для получения результата.
- При необходимости изучите формулу, пояснение и ограничения.