Почему число слоёв удваивается
При складывании пополам каждый слой накрывается таким же слоем, поэтому их становится вдвое больше. Один слой превращается в два, два в четыре, затем в восемь и так далее: после n сложений слоёв ровно 2ⁿ.
Толщина стопки пропорциональна числу слоёв, если они плотно прилегают и не сжимаются. Значит, она растёт во столько же раз: T = t₀·2ⁿ, где t₀ — толщина одного листа.
Первые десять сложений
После десяти сложений слоёв 2¹⁰ = 1024. Для офисной бумаги толщиной около 0,1 мм стопка достигнет 102,4 мм — это чуть больше десяти сантиметров. Даже на этом этапе рост поражает: 10 шагов превратили долю миллиметра в ладонь.
Дальше удвоение продолжается без замедления. После двадцати сложений слоёв 1 048 576, толщина около 104,9 м, после тридцати — 1 073 741 824 слоя и около 107,4 км.
Сорок два сложения и расстояние до Луны
Часто встречающийся вопрос: что будет после 42 сложений? Множитель равен 2⁴² = 4 398 046 511 104, а при толщине листа 0,1 мм получается около 4,398·10¹¹ мм, то есть примерно 439 805 км.
Среднее расстояние до Луны составляет около 384 400 км, поэтому такая стопка его превосходит. Для сравнения, 41 сложение даёт лишь около 219 902 км — примерно половину. Это показывает особенность удвоения: последнее сложение добавляет ровно столько толщины, сколько было накоплено за все предыдущие.
Сложение втрое и другие множители
Если лист складывать «письмом», то есть втрое, каждое сложение утраивает число слоёв. Тогда основание равно 3, и пять сложений дают 3⁵ = 243 слоя. Допустимо вводить и дробные множители, если вы моделируете более сложный процесс.
При основании 1 число слоёв не меняется: любая степень единицы равна единице. Это граничный случай, полезный для проверки понимания: «сложение» без роста не меняет толщину.
Где модель расходится с реальностью
На практике лист нельзя сложить много раз. С каждым сложением длина и ширина стопки уменьшаются, а толщина растёт, и в какой-то момент изгиб требует больше длины, чем осталось. Известные рекорды удавалось ставить лишь на специальных очень длинных лентах.
Слои бумаги не бесконечно тонки и сжимаются, поэтому реальная толщина обычно меньше расчётной. Модель показывает порядок величины и главное свойство показательного роста — стремительность.
Ограничения калькулятора
Результат расчёта не должен превышать 10¹⁵, поэтому число сложений пополам ограничено 49. Для 49 сложений множитель равен 562 949 953 421 312. Если ввести значения, дающие слишком большое число, калькулятор сообщит об ошибке.
Показатель можно вводить и дробным, но для смысла «число сложений» используйте целые значения. Нулевое число сложений даёт множитель 1: стопка остаётся одним листом.
Формула расчёта
T = t₀ · bⁿ
Проверенные примеры
Во сколько раз вырастет толщина после 10 сложений пополам и какова она для листа 0,1 мм?
2¹⁰ = 1024 слоя. Толщина 1024 · 0,1 мм = 102,4 мм, то есть около 10 см.
Какой толщины будет стопка после 42 сложений листа 0,1 мм?
2⁴² = 4 398 046 511 104. Толщина около 4,398 · 10¹¹ мм, то есть примерно 439 805 км — больше расстояния до Луны.
Сколько слоёв получится, если сложить лист втрое 5 раз?
3⁵ = 243 слоя.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Оставьте основание 2 для сложения пополам или введите 3 для сложения втрое.
- Введите число сложений n.
- Нажмите «Вычислить»: результат — множитель роста толщины, он же число слоёв.
- Умножьте множитель на толщину одного листа (для офисной бумаги около 0,1 мм), чтобы получить итоговую толщину.