Равномерная темперация и её идея
Октава — это удвоение частоты. Чтобы разбить её на 12 равных ступеней, каждый полутон должен умножать частоту на одно и то же число q, причём q¹² = 2. Значит, q = 2^(1/12) ≈ 1,059463.
Такой строй позволяет играть в любой тональности без перестройки инструмента, пусть и ценой лёгкого отклонения интервалов от чистых отношений. Именно он принят на клавишных инструментах и в электронной музыке.
Геометрическая прогрессия частот
Если опорная частота равна f₁, то следующий полутон имеет частоту f₁·q, ещё через полутон f₁·q², и так далее. Нота с номером n в ряду, где исходная нота имеет номер 1, имеет частоту fₙ = f₁·qⁿ⁻¹.
Поэтому для сдвига на s полутонов вводят n = s + 1. Этот сдвиг индекса — самый частый источник путаницы, так что внимательно проверяйте номер.
Разобранный числовой пример
Опорная нота — ля первой октавы, 440 Гц. Через 12 полутонов получаем 440·q¹² = 880 Гц: ровно на октаву выше. Для 24 полутонов значение составит 1760 Гц.
Через 3 полутона частота равна 440·q³ ≈ 523,25 Гц, это нота до второй октавы. Калькулятор показывает также сумму частот, но она важна лишь для вспомогательных учебных расчётов.
Проверка интервалов
Квинта (7 полутонов) даёт отношение частот q⁷ ≈ 1,4983 вместо чистых 3/2 = 1,5, а мажорная терция (4 полутона) — 1,2599 вместо 1,25. Эти малые отличия и составляют компромисс темперации.
Сравнив отношение найденной и исходной частот с q^s, можно убедиться, что вы не перепутали число полутонов. Для октавы отношение равно 2 точно.
Опорная высота и другие строи
Стандартом высоты принято считать ля первой октавы с частотой 440 Гц, но барочные ансамбли часто настраиваются ниже, а оркестры порой чуть выше. Измените опорную частоту, и все значения сдвинутся пропорционально.
Для иных строев вместо 2^(1/12) вводят другой множитель. Например, при делении октавы на 24 четверти тона множитель равен 2^(1/24). Формула остаётся той же.
Границы применимости
Результат — идеальная теоретическая частота. Реальный инструмент имеет гармоники, нестроевые отклонения струн и зависимость от температуры, поэтому для настройки используют тюнер.
Не забывайте о диапазоне слышимости: частоты ниже 20 Гц и выше 20 кГц человеческое ухо в большинстве случаев не воспринимает, хотя калькулятор их вычислит.
Где пригодится расчёт частот
Знание частот нужно настройщикам, звукорежиссёрам и тем, кто пишет синтезаторы. Программа генерирует звук нужной высоты, умножая опорную частоту на q^s, где s — число полутонов от опорной ноты.
Расчёт полезен и школьникам: он показывает на живом примере, как показательная функция связывает арифметику интервалов (сложение полутонов) с геометрией частот (умножение множителей).
Если нужно спуститься вниз, достаточно взять нижнюю ноту за опорную и считать полутоны вверх от неё. Тогда все номера положительны, а ошибка знака степени исключена.
Формула расчёта
fₙ = f₁ · qⁿ⁻¹, q = 2^(1/12)
Проверенные примеры
Какова частота ноты на 12 полутонов выше ля 440 Гц?
n = 13, f = 440·q¹² = 440·2 = 880 Гц.
Нота на 3 полутона выше ля 440 Гц (до второй октавы).
n = 4, f = 440·q³ ≈ 523,25 Гц.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите частоту опорной ноты, например 440 Гц.
- Оставьте множитель полутона 1,0594630943592953 или задайте иной строй.
- Номер ноты равен числу полутонов от опорной плюс один.
- Нажмите «Вычислить» и прочтите частоту в герцах.