Определение и область определения
Логарифм числа x по основанию b — это число y, для которого b^y = x. Чтобы это определение имело смысл в вещественных числах, нужны два условия: x > 0 и b > 0, b ≠ 1. Основание 1 исключено, потому что степени единицы всегда равны единице и не различают числа.
Следствия очевидны. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю, потому что b⁰ = 1. Логарифм самого основания равен единице: log₉ 9 = 1. Для оснований больше единицы логарифм растёт с ростом x, а для оснований меньше единицы — убывает, поэтому log₀,₅ 7 отрицателен.
Формула перехода к другому основанию
Любой логарифм можно выразить через натуральный или десятичный: log_b(x) = ln(x) / ln(b) = lg(x) / lg(b). Именно так работает калькулятор: он делит логарифм числа на логарифм основания. Благодаря этому нет нужды искать отдельные кнопки для каждого основания.
Например, log₀,₅ 7 = ln 7 / ln 0,5 ≈ 1,94591 / (−0,69315) ≈ −2,80735. Тот же результат получится, если применить двоичный логарифм: log₂ 7 ≈ 2,80735, и со знаком минус, так как основание 0,5 обратно двойке.
Основные свойства, которые полезно помнить
Логарифм произведения равен сумме логарифмов: log(ab) = log a + log b. Логарифм частного равен разности, а логарифм степени — произведению показателя на логарифм основания: log(a^k) = k · log a. Эти правила позволяют упрощать выражения и решать показательные уравнения.
Поэтому, например, log₁₀ 1000 = log₁₀ (10 · 10 · 10) = 3, а log₂ 0,25 = log₂ (2⁻²) = −2. Если результат оказывается не целым, это означает, что число не является целой степенью основания, как у log₂ 7.
Где логарифмы встречаются на практике
В информатике log₂ N показывает, сколько бит нужно, чтобы различить N вариантов: для 1024 вариантов нужно 10 бит. В химии водородный показатель pH равен минус десятичному логарифму концентрации ионов водорода, а в акустике уровень звука в децибелах также определяется логарифмом отношения мощностей.
В финансах логарифмы помогают ответить на вопрос «за сколько лет вырастет капитал». Чтобы удвоить деньги при 7 % годовых, нужно log_{1,07} 2 = ln 2 / ln 1,07 ≈ 10,24 года. Если известно желаемое значение, но не срок, то именно логарифм превращает показательное уравнение в обычное.
Ограничения и точность
Калькулятор принимает числа и основания в диапазоне от 10⁻⁹ до 10¹². Значения вне него, а также нулевые, отрицательные и равные единице основания отклоняются с понятным сообщением. Комплексные логарифмы отрицательных чисел не поддерживаются.
Результаты вычисляются в двоичной арифметике с плавающей точкой, поэтому в самом последнем знаке возможно расхождение с «идеальным» значением: например, log₁₀ 1000 может выводиться как 2,9999999999999996. Для школьных ответов округляйте результат разумным числом знаков.
Формула расчёта
log_b(x) = ln(x) / ln(b)
Проверенные примеры
Найдите log₂ 1024.
2¹⁰ = 1024, поэтому log₂ 1024 = 10.
Найдите log₀,₅ 7.
ln 7 / ln 0,5 ≈ 1,94591 / (−0,69315) ≈ −2,80735.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите положительное число x.
- Укажите основание: 10 для десятичного логарифма, 2 для двоичного, 2,718281828 для натурального.
- Нажмите «Рассчитать» и проверьте результат возведением основания в степень.