Решение линейного уравнения ax + b = 0

Как получается формула корня

Начнём с равенства ax + b = 0. Вычтем b из обеих частей: ax = −b. Это допустимое преобразование: равенство сохраняется, если с обеих сторон выполнить одно и то же действие. Затем разделим обе части на a, считая, что a ≠ 0, и получим x = −b / a.

Особенность линейного уравнения в том, что при a ≠ 0 у него всегда ровно один корень. Графически это означает, что прямая y = ax + b пересекает ось абсцисс в единственной точке, а x = −b / a — её абсцисса. Если b = 0, пересечение лежит в начале координат.

Приведение уравнения к стандартному виду

Чаще всего уравнение записано в виде ax + b = c или даже содержит неизвестную в обеих частях. Тогда перенесите все слагаемые влево с противоположными знаками и приведите подобные. Например, 3x + 5 = x − 1 превращается в 3x − x + 5 + 1 = 0, то есть 2x + 6 = 0, откуда a = 2, b = 6 и x = −3.

Скобки раскрывают заранее: 2(x − 4) + 3 = 0 даёт 2x − 8 + 3 = 0, значит a = 2, b = −5 и x = 2,5. Если в уравнении есть дроби, умножьте обе части на общий знаменатель или введите десятичные коэффициенты: калькулятор принимает любые вещественные числа.

Проверка корня и типичные ошибки

Самый надёжный способ проверки — подстановка. Для уравнения 2x − 8 = 0 и x = 4 имеем 2 · 4 − 8 = 0, всё верно. Если равенство не выполнилось, ошибка закралась либо в коэффициенты, либо в знаки при переносе слагаемых.

Типичная ошибка — забыть поменять знак при переносе. Из 3x = x + 4 нужно получить 3x − x − 4 = 0, то есть a = 2, b = −4, а не b = 4. Ещё одна ошибка — делить на коэффициент, забыв, что знак у a тоже участвует: для −4x + 10 = 0 получается x = −10 / (−4) = 2,5, а не −2,5.

Что происходит при a = 0

Если a = 0, уравнение принимает вид 0 · x + b = 0, то есть b = 0 без участия неизвестной. При b ≠ 0 это равенство ложно, поэтому решений нет. При b = 0 оно верно всегда, и тогда подходит любое число x.

Калькулятор не различает эти два подслучая и в обоих выдаёт сообщение о вырожденности: единственного значения x не существует. Проверьте, не потерялось ли слагаемое с неизвестной после приведения подобных; именно в такой ситуации чаще всего появляется нулевой коэффициент.

Где встречаются линейные уравнения

К линейным уравнениям сводятся многие бытовые и экономические задачи: найти время, когда два тарифа сравняются по стоимости, определить количество проданных единиц для заданной выручки, рассчитать скорость или расстояние при равномерном движении. Например, при тарифе 300 рублей и 5 рублей за минуту уравнение 5t + 300 = 750 даёт t = 90 минут.

В науке линейные уравнения описывают пропорциональные зависимости и первую оценку любых малых изменений. Поэтому уверенное владение ими — основа для работы с системами уравнений, функциями и графиками, которые представлены в соответствующих разделах каталога.

Формула расчёта

Проверенные примеры

Как пользоваться онлайн-калькулятором

1. Приведите уравнение к виду ax + b = 0: перенесите все слагаемые в левую часть.
2. Введите коэффициенты a и b с учётом знаков.
3. Нажмите «Рассчитать» и подставьте найденный x в исходное уравнение для проверки.