Вывод формулы суммы
Обозначим сумму S = b₁ + b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ⁻¹. Умножим обе стороны на q: qS = b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ. Если вычесть первое равенство из второго, почти все слагаемые сократятся, и останется qS − S = b₁qⁿ − b₁.
Вынесем общие множители: S(q − 1) = b₁(qⁿ − 1). Значит, при q ≠ 1 имеем S = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Это и есть формула, которую использует калькулятор. Для b₁ = 2, q = 3, n = 6 получаем 2 · 728/2 = 728, что легко проверить: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728.
Особые знаменатели: 1, 0 и отрицательные
Если q = 1, формула даёт деление на ноль, но ряд тогда состоит из одинаковых членов, и сумма равна n · b₁. Калькулятор обрабатывает этот случай отдельно. Если q = 0, все члены, кроме первого, равны нулю, и сумма равна b₁; например, для b₁ = 3 она равна 3 при любом числе членов.
Отрицательный знаменатель делает члены чередующимися по знаку. Для b₁ = 1, q = −2, n = 5 ряд выглядит как 1, −2, 4, −8, 16, а сумма равна 11. Формула работает без изменений; важно лишь аккуратно возводить отрицательное число в степень.
Убывающие прогрессии и предел суммы
Когда модуль знаменателя меньше единицы, члены быстро уменьшаются. При b₁ = 1 и q = 0,5 сумма десяти членов равна 1,998046875, а сумма пятидесяти членов уже совпадает с 2 в пределах стольких знаков, сколько хранит компьютер. Формула b₁/(1 − q) для бесконечной суммы даёт те же 2.
Этим свойством объясняются многие парадоксы вроде «Ахиллес и черепаха» и повседневные задачи: общий путь отскакивающего мяча, суммарный эффект постоянно ослабевающего сигнала. Калькулятор считает конечную сумму, но позволяет увидеть, как она приближается к предельному значению.
Практические применения
Если вкладывать каждый месяц сумму b₁ под ежемесячный множитель q, то накопления за n месяцев равны сумме геометрической прогрессии. Сюда же относятся выплаты по аннуитету, дисконтирование денежных потоков и расчёты амортизации. Удвоение числа бактерий каждый час за десять часов даёт суммарно 1023 клетки, если начинать с одной.
В информатике сумма степеней двойки 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1 определяет максимальное число, которое помещается в n бит: для десяти бит это 1023. Эта же формула показывает, почему последовательные удвоения так быстро приводят к огромным значениям.
Ограничения и контроль результата
Для знаменателей больше единицы по модулю сумма растёт экспоненциально. Калькулятор отклоняет расчёты, где результат превысил бы 10¹⁵: например, десять в пятидесятой степени. Знаменатель допускается от −100 до 100, число членов — до 10 000.
Если расчёт нужно выполнить для очень больших рядов или бесконечной суммы, используйте теорию пределов. Для проверки результата всегда полезно сложить два-три первых члена вручную и сравнить частичную сумму с формулой при малом n.
Формула расчёта
S = b₁ × (qⁿ − 1) / (q − 1), при q = 1: S = n·b₁
Проверенные примеры
Найдите сумму шести членов при b₁ = 2 и q = 3.
S = 2 · (3⁶ − 1) / (3 − 1) = 2 · 728 / 2 = 728.
Найдите 1 + 2 + 4 + … (10 членов).
S = 1 · (2¹⁰ − 1) / (2 − 1) = 1023.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите первый член b₁.
- Укажите знаменатель q — отношение любого члена к предыдущему — и число членов n.
- Нажмите «Рассчитать» и сравните результат с ручной суммой первых слагаемых.