Показательная модель роста
Если величина умножается на q за каждый период, то через n периодов она станет равна x₀·qⁿ. Рост на p процентов соответствует q = 1 + p/100, а убывание на p процентов — q = 1 − p/100.
Условие «величина выросла в K раз» записывается как qⁿ = K. Это показательное уравнение относительно неизвестного n, и решается оно взятием логарифма от обеих частей равенства.
Решение уравнения логарифмом
Логарифмируя равенство qⁿ = K, получаем n·ln q = ln K, откуда n = ln K / ln q. Основание логарифма значения не имеет, если в числителе и знаменателе оно одинаково, поэтому годится и десятичный, и натуральный.
Для q = 1 знаменатель равен нулю, а при q < 1 и K > 1 число периодов оказывается отрицательным: такая цель при убывании недостижима, и отрицательный ответ сигнализирует о противоречии входных данных.
Пример: удвоение при росте на 7 %
Здесь K = 2, q = 1,07. Логарифм двойки равен 0,6931, логарифм 1,07 — 0,0677, и n ≈ 10,24. Через десять периодов величина вырастет примерно в 1,97 раза, через одиннадцать — в 2,10.
Для роста в 10 раз при 10 % за период получаем 24,16 периода, а для утроения при 5 % — около 22,5. Видно, что уменьшение темпа вдвое увеличивает время примерно вдвое.
Связь с правилом семидесяти двух
Приближённо время удвоения равно 72 / p, где p — темп роста за период в процентах. Для 7 % оценка даёт 10,3 периода — очень близко к точным 10,24. Это следствие того, что ln 2 ≈ 0,693 и ln(1 + x) ≈ x.
Правило удобно для устного счёта, но становится неточным при больших темпах: при росте на 100 % оно предсказывает 0,72 периода вместо точной единицы. Калькулятор работает без таких приближений.
Убывание и период полураспада
Если множитель меньше единицы, а цель — уменьшение вдвое (K = 0,5), результат равен периоду полураспада. Для множителя 0,97 он составляет около 22,76 периода.
Тот же расчёт описывает радиоактивный распад, остывание, амортизацию. Нужно лишь определить множитель за выбранный период, будь то год, час или сутки.
Типичные ошибки при вводе
Чаще всего вместо множителя вводят сам процент: 7 вместо 1,07. Тогда логарифм считается по основанию 7, и ответ получается совершенно иным. Множитель всегда близок к единице.
Ещё одна ошибка — смешение периодов: темп в год, а результат хочется получить в месяцах. Сначала приведите множитель к единице измерения времени, которая вам нужна.
Практические советы по использованию
Прежде чем подставлять данные, убедитесь, что рост действительно приближается к постоянному множителю. Для производственных объёмов, численности населения и подобных величин множитель на длинном интервале обычно меняется, и расчёт даёт лишь прикидку.
Для оценки неопределённости пересчитайте результат с чуть меньшим и чуть большим множителем. Если время удвоения сильно меняется, значит, вывод чувствителен к темпу и опираться на него осторожно нужно особенно.
Результат можно перевести в привычные единицы: умножьте число периодов на длительность периода. Если период равен году, то 10,24 периода — это около десяти лет и трёх месяцев.
Формула расчёта
n = ln(K) / ln(q) = log_q K
Проверенные примеры
За сколько периодов величина удвоится, если растёт на 7 % за период?
n = ln 2 / ln 1,07 ≈ 10,24 периода.
Рост на 10 % за период; за сколько периодов значение вырастет в 10 раз?
n = ln 10 / ln 1,1 ≈ 24,16 периода.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Решите, во сколько раз должна измениться величина: для удвоения введите 2.
- Найдите множитель за период: прибавьте темп роста в долях к единице.
- Введите оба числа и нажмите «Вычислить».
- Результат — число периодов, не обязательно целое.