Почему высоты образуют геометрическую прогрессию
Если после каждого удара мяч сохраняет одну и ту же долю q прежней высоты, то h₂ = h₁q, h₃ = h₂q = h₁q² и так далее. Отношение соседних членов постоянно — это определение геометрической прогрессии, а число q называют её знаменателем.
Для мяча q лежит между 0 и 1: при q = 1 он отскакивал бы вечно на одну высоту, при q = 0 не отскакивал бы совсем. Поэтому в калькуляторе доля ограничена отрезком от 0 до 1.
Откуда берётся доля q
В физике удар описывают коэффициентом восстановления e — отношением скорости после удара к скорости до него. Высота подъёма пропорциональна квадрату скорости, значит q = e². Для e = 0,8 получаем q = 0,64: мяч поднимается на 64 % прежней высоты.
На практике проще измерить q прямо: уронить мяч с высоты h₀ и замерить первый подъём h₁, тогда q = h₁/h₀. Желательно проверить повторное значение на втором ударе, чтобы убедиться, что отношение сохраняется.
Разбор: высота третьего подъёма
Пусть первый подъём равен 0,8 м, а q = 0,6. Второй подъём составит 0,8·0,6 = 0,48 м, третий — 0,48·0,6 = 0,288 м. Формула даёт то же без промежуточных шагов: 0,8·0,6² = 0,288 м.
Сумма высот первых трёх подъёмов равна 0,8 + 0,48 + 0,288 = 1,568 м. Это не путь мяча, а сумма высот: она нужна, когда по условию задачи складываются именно высоты подъёмов.
Разбор: падение с одного метра
Мяч падает с высоты 1 м, после каждого удара поднимается на 64 % предыдущей высоты. Первый подъём равен 0,64 м, второй 0,4096 м, третий 0,262144 м. В калькулятор вводим h₁ = 0,64, q = 0,64 и n = 3.
Полный путь мяча до вершины третьего подъёма складывается из начального падения, двух полных «вверх и вниз» и последнего подъёма: 1 + 2·(0,64 + 0,4096) + 0,262144 = 3,361344 м. Для бесконечного числа отскоков путь равен 1 + 2·0,64/0,36 ≈ 4,556 м: прогрессия сходится, потому что q меньше единицы.
Что происходит при большом числе отскоков
Высоты стремятся к нулю: при q = 0,8 и h₁ = 1,5 м десятый подъём составляет всего 0,2013 м, то есть около 20 см. Чем ближе q к единице, тем медленнее затухание и тем больше отскоков до заметной потери высоты.
Сумма высот подъёмов при q < 1 ограничена величиной h₁/(1 − q). Для h₁ = 0,8 м и q = 0,6 она никогда не превысит 2 м, сколько бы ни было отскоков. Если q = 1, сумма растёт линейно: n·h₁.
Где модель перестаёт работать
Реальный мяч подчиняется идеальной прогрессии лишь приближённо. Коэффициент восстановления зависит от скорости удара, температуры, давления в мяче и твёрдости поверхности, а на малых высотах заметную роль играют вращение и неровности пола.
Кроме того, сопротивление воздуха уменьшает каждый подъём. Расчёт полезен как первая оценка и учебная модель; для точных прогнозов лучше измерить высоты нескольких подъёмов и проверить, насколько постоянна доля q.
Формула расчёта
hₙ = h₁ · qⁿ⁻¹, Sₙ = h₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q)
Проверенные примеры
Первый подъём 0,8 м, каждый следующий равен 0,6 предыдущего. Какова высота третьего подъёма?
h₃ = 0,8 · 0,6² = 0,8 · 0,36 = 0,288 м. Сумма трёх подъёмов 0,8 + 0,48 + 0,288 = 1,568 м.
Мяч падает с 1 м и после каждого удара поднимается на 64 % предыдущей высоты. Высота третьего подъёма?
h₁ = 0,64 м, q = 0,64. h₃ = 0,64 · 0,64² = 0,262144 м; сумма трёх подъёмов 1,311744 м.
Первый подъём 1,5 м, q = 0,8. Высота десятого подъёма?
h₁₀ = 1,5 · 0,8⁹ = 0,2013 м, то есть около 20 см.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Измерьте или задайте высоту первого подъёма h₁ после первого удара о пол.
- Определите долю q: высота второго подъёма, делённая на высоту первого.
- Введите номер отскока n и нажмите «Вычислить».
- Результат «Член номер n» — высота n-го подъёма, «Сумма первых n» — сумма высот первых n подъёмов.