Почему ряды образуют арифметическую прогрессию
Если в первом ряду a₁ мест, а каждый следующий ряд длиннее на d мест, то во втором ряду a₁ + d мест, в третьем a₁ + 2d, и так далее. Такая последовательность и называется арифметической прогрессией.
В последнем ряду, номер которого равен n, окажется a₁ + (n − 1)·d мест. Эта величина нужна для контроля: она не должна быть отрицательной, иначе исходные данные противоречивы.
Формула суммы и её вывод
Сумма n членов равна S = n·(a₁ + a_n)/2: среднее арифметическое первого и последнего рядов, умноженное на число рядов. Подставив a_n, получаем S = n·(2a₁ + (n − 1)·d)/2.
Идею вывода приписывают юному Гауссу: сложите ряд с самим собой, записанным в обратном порядке, и каждая пара даст одну и ту же сумму a₁ + a_n, а таких пар ровно n.
Числовой пример: зал из 15 рядов
Пусть в первом ряду 20 мест, каждый следующий больше на 2, а рядов 15. Последний ряд содержит 20 + 14·2 = 48 мест. Среднее число мест в ряду (20 + 48)/2 = 34.
Умножая на число рядов, получаем 34·15 = 510 мест. Калькулятор даёт то же число, а если сделать ряды одинаковыми (d = 0), результат упадёт до 300.
Случай убывающих рядов
Прибавка может быть отрицательной: на некоторых трибунах ряды сужаются вверх. Первый ряд на 30 мест и уменьшение на 2 места при 10 рядах дают последний ряд на 12 мест и сумму 210.
Следите, чтобы последний ряд не получился отрицательным. Если a₁ + (n − 1)·d < 0, значит, при таких параметрах столько рядов не построить, и число рядов надо уменьшить.
Частые ошибки в таких задачах
Первая ошибка — использовать n вместо n − 1 в формуле последнего члена. Вторая — путать разность прогрессии с общим приростом мест. Если известно, что последний ряд больше первого на 28 мест при 15 рядах, то d = 28/14 = 2, а не 28/15.
Третья ошибка — игнорировать проходы. Если зал разделён проходом, места нужно считать по секциям и суммировать результаты отдельных прогрессий.
Для чего пригодится расчёт
Метод применяют для оценки вместимости аудиторий и стадионных секторов, а также в задачах на укладку материалов слоями, где каждый слой отличается на постоянную величину. Это базовая модель линейного роста.
Для реального проекта вместимость определяют по плану, требованиям безопасности и документам эксплуатации, а не по теоретической формуле.
Как использовать результат при планировании
Зная общую вместимость, можно сравнить варианты планировки: например, добавить ряд или увеличить прибавку. Меняйте один параметр за раз и наблюдайте, как растёт сумма. Прирост от добавленного ряда равен числу мест в нём.
Ещё один приём — оценка среднего ряда. Если среднее число мест в ряду, умноженное на число рядов, не совпадает с ответом, ввод содержит ошибку. Так легко поймать опечатку в данных задачи.
Формула расчёта
S = n·(2a₁ + (n − 1)·d) / 2
Проверенные примеры
В первом ряду 20 мест, каждый следующий ряд больше на 2 места, всего 15 рядов. Сколько мест в зале?
S = 15·(2·20 + 14·2)/2 = 15·68/2 = 510 мест.
Первый ряд 30 мест, каждый следующий на 2 меньше, всего 10 рядов.
S = 10·(60 − 18)/2 = 210 мест; последний ряд содержит 12 мест.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Посчитайте места в первом ряду.
- Определите, на сколько мест увеличивается каждый следующий ряд.
- Введите число рядов.
- Нажмите «Вычислить» и получите общее число мест.