Идея Гаусса и вывод формулы
По легенде, школьнику Гауссу задали сложить числа от 1 до 100. Он заметил, что 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101 и так далее: всего получается 50 пар с суммой 101, то есть 5050. Это и есть суть формулы: в арифметической прогрессии сумма крайних членов равна сумме любой пары, равноудалённой от краёв.
Общая запись такова. Если сложить S = a₁ + a₂ + … + aₙ с той же суммой в обратном порядке, каждая пара даёт a₁ + aₙ, а пар n. Значит, 2S = n(a₁ + aₙ). Подставим aₙ = a₁ + (n − 1)d и разделим на два: S = n(2a₁ + (n − 1)d)/2.
Разбор примеров
Для ряда 3, 7, 11, … при n = 20 последний член равен 3 + 19 · 4 = 79, а сумма — 20 · (3 + 79)/2 = 820. Именно это число вы получите в калькуляторе при значениях по умолчанию. Для a₁ = 10, d = −3 и n = 8 члены убывают: 10, 7, 4, 1, −2, −5, −8, −11 — и сумма равна −4.
Если разность равна нулю, все члены совпадают, и сумма — просто произведение n · a₁: девять семёрок дают 63. Для дробной разности 0,5 при a₁ = 1 и n = 10 получаем 10 · (2 + 4,5)/2 = 32,5. Такие проверки помогают убедиться, что вы правильно понимаете значения полей.
Где встречаются арифметические прогрессии
В зрительном зале в первом ряду 12 мест, а в каждом следующем на 2 больше. Для 15 рядов вместимость равна 15 · (24 + 28)/2 = 390 мест. Похожим образом считают количество бревен в штабеле, кирпичей в лестничной кладке, равномерно растущие взносы или ежемесячную нагрузку на тренировках.
В финансах прогрессия описывает накопления, когда каждый месяц вы откладываете на фиксированную сумму больше предыдущей. Сумма за год при начальном взносе 1000 и ежемесячном увеличении на 100 получается по той же формуле при n = 12.
Типичные ошибки и как их избежать
Самая частая ошибка — перепутать число членов и номер последнего члена или забыть, что в формуле участвует n − 1 разностей, а не n. Если первый член уже учтён, то между первым и n-м членом ровно n − 1 шагов. Проверьте себя на малом случае: при n = 1 сумма должна быть равна a₁.
Ещё одна ошибка — неправильный знак разности. Если ряд убывает, вводите отрицательное d. Для проверки можно вычислить последний член aₙ = a₁ + (n − 1)d отдельно и убедиться, что он совпадает с тем, что вы ожидаете.
Ограничения калькулятора
Число членов ограничено значением 100 000, а модуль суммы — величиной 10¹⁵. Это связано с точностью чисел с плавающей запятой: при больших значениях целые числа уже нельзя представить без округления. Для учебных и бытовых задач такого диапазона хватает с запасом.
Калькулятор считает только сумму ряда с постоянной разностью. Если члены образуют геометрическую прогрессию, воспользуйтесь отдельным инструментом для суммы геометрической прогрессии; для бесконечных рядов нужны другие методы, основанные на понятии предела.
Формула расчёта
S = n × (2·a₁ + (n − 1)·d) / 2
Проверенные примеры
Найдите сумму 20 членов, если a₁ = 3 и d = 4.
S = 20 · (2·3 + 19·4) / 2 = 10 · 82 = 820.
Найдите 1 + 2 + … + 100.
S = 100 · (2 + 99) / 2 = 5050.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите первый член прогрессии.
- Укажите разность d между соседними членами и число членов n.
- Нажмите «Рассчитать» и сравните результат с ручной суммой первых слагаемых.