Геометрия: почему параллель короче
Параллель — окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения Земли. Её радиус равен R·cos φ, где R — радиус сферы, а φ — широта. Длина окружности пропорциональна радиусу, поэтому во столько же раз сокращается и длина параллели.
Отсюда доля L(φ)/L(0) = cos φ. Формула не зависит от радиуса Земли, поэтому подходит для любых планет-шаров, а длину в километрах вы получаете, умножая долю на длину экватора из справочника.
Это удобно для школьных и туристических оценок: достаточно знать длину экватора, чтобы быстро сказать, насколько короче параллель вашего города и сколько километров в одном градусе долготы именно на его широте.
Например, для города на 55° северной широты градус долготы составляет около 57 % от экваториального, что заметно меняет оценку расстояний при движении строго на восток или запад вдоль параллели.
Числовой пример для 55° и 60°
На широте 55° косинус равен 0,57358. Значит, параллель составляет около 57,4 % экватора. Если взять экватор длиной около 40 075 км, параллель окажется примерно 22 986 км длиной.
На широте 60° параллель ровно вдвое короче экватора: cos 60° = 0,5. В радианах широта 1 рад (около 57,3°) даёт косинус 0,54030. Все три значения можно проверить, подставив их в калькулятор.
Для сравнения: на широте 45° косинус равен примерно 0,7071, на 30° — около 0,8660, а на широте 80° — всего 0,1736. Видно, что сжатие ускоряется ближе к полюсу, хотя сама широта растёт равномерно.
Связь с длиной градуса долготы
Один градус долготы — это 1/360 часть параллели. Поэтому длина градуса долготы на широте φ равна длине градуса долготы у экватора, умноженной на cos φ. На высоких широтах он заметно короче, чем у экватора.
Для широты 55° градус долготы составляет около 57 % экваториального, а для широты 60° — ровно половину. Эта поправка нужна, когда вы переводите разницу долгот в расстояние вручную или оцениваете площадь клетки градусной сетки.
Именно поэтому на картах в проекции Меркатора объекты вблизи полюсов выглядят растянутыми по горизонтали: проекция сохраняет форму, но не площадь, и растяжение пропорционально величине, обратной косинусу широты.
Ошибки при использовании широты
Главная ошибка — подставить градусы в функцию, ожидающую радианы, или наоборот. Калькулятор требует явного выбора единиц именно для предотвращения этой ситуации: 55 радиан и 55 градусов дают совершенно разные результаты.
Вторая ошибка — использовать широту с отрицательным знаком. Для расчёта доли берут модуль, поскольку параллели северного и южного полушарий на одинаковой широте имеют одинаковую длину.
Границы сферической модели
Реальная Земля чуть сплюснута у полюсов, поэтому настоящие параллели отличаются от сферических оценок на доли процента. Для навигации и туристических оценок этого достаточно, для геодезии — нет.
Результат не заменяет расчёт расстояния между конкретными точками. Для него нужна формула большого круга, ведь длина по параллели не совпадает с кратчайшим расстоянием между двумя точками.
В таких задачах помогает формула гаверсинусов, а косинус широты остаётся лишь вспомогательным множителем для оценки смещения по долготе.
Формула расчёта
L(φ) / L(0) = cos φ
Проверенные примеры
Какую долю экватора составляет параллель на широте 55°?
cos 55° ≈ 0,57358, то есть около 57 % длины экватора.
Какова доля длины параллели на широте 60° от длины экватора?
cos 60° = 0,5, параллель вдвое короче экватора.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите широту по модулю, от 0 до 90 градусов.
- Выберите градусы или радианы.
- Нажмите «Вычислить» и умножьте долю на длину экватора или градуса долготы у экватора.