Что такое дуга большого круга
Большим кругом называют окружность, получающуюся при пересечении сферы плоскостью, проходящей через её центр. Кратчайший путь между двумя точками на сфере всегда лежит на таком круге, поэтому самолёты на дальних рейсах летят по дугам, которые на плоской карте кажутся изогнутыми.
Длина дуги равна произведению радиуса на центральный угол между направлениями на две точки. Для Земли берут средний радиус 6371,0088 км — значение, при котором шар имеет тот же объём, что и реальная планета. Именно оно заложено в калькулятор, и поэтому один градус дуги равен примерно 111,19 км.
Формула гаверсинуса шаг за шагом
Сначала координаты переводят в радианы и находят разности широт Δφ и долгот Δλ. Затем вычисляют величину h = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ/2). Она равна половине квадрата хорды единичной сферы между точками и всегда лежит между нулём и единицей.
Центральный угол находят как 2·arcsin(√h), а расстояние получают умножением на радиус. Преимущество записи через гаверсинус в том, что она остаётся точной даже для точек в десятках метров друг от друга, тогда как формула через арккосинус от скалярного произведения при таких расстояниях теряет значащие цифры.
Пример: Москва и Санкт-Петербург
Возьмём центры городов: (55,7558° с. ш.; 37,6173° в. д.) и (59,9343° с. ш.; 30,3351° в. д.). Разность широт составляет около 4,18°, разность долгот — около 7,28° к западу. Подставив значения, получаем центральный угол примерно 5,69° и расстояние порядка 633 км.
Автомобильный маршрут между этими городами заметно длиннее — около 700 км. Разница возникает потому, что дорога огибает озёра и населённые пункты и не идёт по дуге. Для сравнения «насколько далеко» дуга удобнее, для планирования поездки нужен маршрут по дорогам.
Как правильно вводить координаты
Широта положительна в северном полушарии и отрицательна в южном, долгота положительна к востоку от Гринвича и отрицательна к западу. Частая ошибка — поменять широту и долготу местами: широта не может превышать 90°, поэтому калькулятор отклонит такой ввод, но значения вроде 45 и 30 примет в любом порядке.
Если координаты даны в градусах, минутах и секундах, переведите их в десятичные градусы: минуты делятся на 60, секунды на 3600. Разделитель дробной части может быть точкой или запятой. Не округляйте координаты слишком грубо: одна сотая градуса по широте — это уже около 1,1 км.
Точность и границы метода
Сферическая модель отличается от эллипсоида WGS-84: радиус Земли у полюсов примерно на 21 км меньше, чем на экваторе. Из-за этого погрешность формулы гаверсинуса относительно эллипсоидальных расчётов обычно не превышает 0,3–0,5 %. Для задач геодезии, кадастра и точной навигации используют методы Винсенти или Карни.
Калькулятор не учитывает рельеф, высоту над уровнем моря, ветер, воздушные коридоры и дороги. Поэтому результат следует читать как расстояние, на которое сместилась бы точка при движении по поверхности без препятствий. Для оценки времени в пути умножьте его на подходящий коэффициент извилистости маршрута.
Формула расчёта
d = 2R · arcsin √( sin²(Δφ/2) + cos φ₁ · cos φ₂ · sin²(Δλ/2) )
Проверенные примеры
Точки (55,7558°; 37,6173°) и (59,9343°; 30,3351°). Какое расстояние между ними по дуге большого круга?
Разности равны Δφ ≈ 4,1785° и Δλ ≈ −7,2822°. Подстановка в формулу гаверсинуса с R = 6371,0088 км даёт примерно 633,02 км.
Точки (48,8566°; 2,3522°) и (52,5200°; 13,4050°). Найдите расстояние.
По той же формуле получается около 877,46 км; железная и автомобильная дороги между городами заметно длиннее.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Переведите координаты в десятичные градусы: южные широты и западные долготы берите со знаком минус.
- Впишите широту и долготу первой, затем второй точки.
- Нажмите «Рассчитать» и прочитайте расстояние в километрах.