Что делает линейная и полиномиальная регрессия
Регрессия подбирает функцию, которая лучше всего описывает зависимость отклика y от переменной x. Критерий лучшего — минимум суммы квадратов отклонений наблюдений от кривой. Для прямой это даёт привычные наклон и свободный член, для параболы и кубического полинома — коэффициенты при x² и x³. Калькулятор решает систему нормальных уравнений на стандартизованном аргументе, поэтому остаётся устойчивым и при больших значениях x, например при годах.
Повышать степень полинома стоит только при видимой кривизне и достаточном числе точек. Каждая лишняя степень съедает степень свободы, а скорректированный R² сразу штрафует за это: если он не растёт вместе с обычным, усложнение модели ничего не дало. Для прогноза выбирайте самую простую модель, чьи остатки выглядят случайными.
Как читать R², F-критерий и стандартную ошибку
Коэффициент детерминации показывает долю разброса y, объяснённую моделью. Значение 0,95 означает, что 95 % вариации связано с x. Но высокий R² не доказывает причинной связи и не гарантирует хорошего прогноза: две монотонно растущие величины почти всегда дают R² около единицы. Стандартная ошибка регрессии, напротив, выражена в единицах y и сразу показывает типичный промах модели.
F-статистика проверяет, что хотя бы один коэффициент при x значимо отличен от нуля, а её p-значение — вероятность увидеть такую подгонку случайно. При идеальном совпадении точек с кривой F не определена, и калькулятор прямо сообщает об этом. Малая выборка делает все оценки грубыми, поэтому для полинома степени d требуется минимум d + 2 точки, а лучше в разы больше.
Остатки и статистика Дарбина — Уотсона
Остаток — разность между наблюдением и значением модели. Если модель выбрана верно, остатки должны быть похожи на шум без закономерностей. Таблица показывает обычные и стьюдентизированные остатки: значения за пределами ±2 помечают подозрительные точки, а за пределами ±3 — почти наверняка выбросы или ошибки ввода.
Статистика Дарбина — Уотсона близка к 2 при отсутствии автокорреляции остатков, меньше 1,5 говорит о положительной, больше 2,5 — об отрицательной. Для данных, упорядоченных по времени, это важная проверка: при автокорреляции стандартные ошибки занижены, а доверительные интервалы выглядят точнее, чем есть на самом деле.
Прогноз: интервал среднего и интервал предсказания
Доверительный интервал среднего отвечает на вопрос, где проходит сама линия регрессии при заданном x₀. Интервал предсказания отвечает на другой вопрос: куда попадёт новое отдельное наблюдение. Второй всегда шире, потому что включает ещё и случайный разброс вокруг линии. Для плана продаж или нормы расхода нужен именно он.
Чем дальше x₀ от центра данных, тем шире интервалы, а за границами наблюдений прогноз превращается в экстраполяцию. Для полиномов она особенно опасна: парабола, хорошо описывающая диапазон измерений, за его пределами может уходить в абсурд. Калькулятор предупреждает об экстраполяции и строит прогноз на несколько шагов вперёд с теми же границами.
Корреляция Пирсона и Спирмена
Коэффициент Пирсона измеряет силу линейной связи от −1 до +1, а Спирмена — монотонной связи по рангам, поэтому он устойчивее к выбросам и подходит для порядковых шкал. Если Пирсон заметно ниже Спирмена, связь есть, но она нелинейная или искажена несколькими крайними значениями. Связанные значения получают средние ранги, как в стандартных статистических пакетах.
Доверительный интервал для r строится через преобразование Фишера и обычно несимметричен. Шкала Чеддока переводит число в словесную оценку силы, но граница между «умеренной» и «заметной» условна. Значимая корреляция при большом объёме выборки может быть практически ничтожной, поэтому всегда смотрите на r², а не только на p-значение.
Формула расчёта
ŷ = a₀ + a₁x + … + a_d·x^d; R² = 1 − SSE/SST; r = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / √(Σ(xᵢ−x̄)²·Σ(yᵢ−ȳ)²)
Проверенные примеры
x от 1 до 10, y: 2,3 4,1 6,8 8,2 10,9 12,4 14,8 17,3 18,9 21,5. Прямая, интервал среднего 95 %, прогноз в точке x₀ = 12.
Уравнение y = 0,0467 + 2,1224·x, R² = 0,9981. Прогноз в точке 12: 25,516, интервал от 24,975 до 26,057 (экстраполяция).
x: 10 12 15 17 20 22 25 28 30 33; y: 41 48 50 58 55 66 70 69 80 78. Режим корреляции, 95 %.
r = 0,9692, ρ Спирмена = 0,9636. Сила связи по шкале Чеддока: весьма высокая, прямая. Наклон линейной регрессии 1,6349.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Вставьте значения x и y в два списка одинаковой длины.
- Выберите режим: регрессия с полиномом нужной степени или корреляция.
- Для прогноза укажите x₀ и число шагов вперёд, выберите тип интервала.
- Оцените R², остатки и предупреждения об экстраполяции.