Распределение Стьюдента и степени свободы
Когда среднее выборки стандартизуют не по известной σ, а по её оценке s, получается статистика t = (x̄ − μ₀) / (s / √n). Её распределение не нормальное, а называется распределением Стьюдента. Оно зависит от одного параметра ν — числа степеней свободы, которое для одной выборки равно n − 1.
Форма кривой похожа на нормальную, но хвосты тяжелее: при малых ν большие по модулю значения t встречаются заметно чаще. При ν = 1 получается распределение Коши, при росте ν кривая сближается со стандартной нормалью, и при ν около 100 разница уже не превышает нескольких процентов.
Поэтому один и тот же t = 2,0 значим при ν = 60, где двусторонний p-value около 0,05, и почти не говорит ни о чём при ν = 3, где он составляет около 0,14.
От накопленной вероятности к p-value
Калькулятор возвращает F(t) = P(T ≤ t). Для правостороннего критерия, где альтернатива «среднее больше», p-value равно 1 − F(t). Для левостороннего оно равно F(t). Для двустороннего критерия берут оба хвоста: p = 2 · (1 − F(|t|)).
Пример: выборка из 11 наблюдений даёт t = 2,228 при ν = 10. Калькулятор показывает F ≈ 0,974994, поэтому односторонний p-value равен около 0,025, а двусторонний около 0,050. Это граница, на которой значение 2,228 становится критическим для уровня значимости 5 %.
Решение принимают сравнением p-value с заранее выбранным уровнем α. Если p ≤ α, нулевую гипотезу отвергают; в противном случае данных недостаточно для её отвержения, но это не доказывает её истинность.
Расчёт на примере с двумя выборками
Две группы по 8 человек сравнивают по среднему баллу. Критерий для независимых выборок с равными дисперсиями даёт t = −2,5. Число степеней свободы равно 8 + 8 − 2 = 14. Нужно оценить, различаются ли группы при α = 0,05.
Введите t = −2,5 и ν = 14. Калькулятор вернёт левый хвост, около 0,0127. Двусторонний p-value вдвое больше и составляет примерно 0,0254, что меньше 0,05, поэтому различие можно считать статистически значимым при выбранном уровне.
Такой вывод ничего не говорит о практической значимости. Для неё смотрят на разницу средних и её доверительный интервал: при 8 наблюдениях в группе даже большой эффект может давать неустойчивый результат.
Типичные ошибки при работе с p-value
Первая ошибка — путаница хвостов. Результат калькулятора для t > 0 близок к единице, и его нельзя принимать за p-value: нужно вычесть его из единицы. Вторая — неверные степени свободы: для парных наблюдений ν равно числу пар минус один, а не числу измерений минус один.
Третья ошибка — трактовать p-value как вероятность истинности гипотезы. На деле это вероятность данных или более экстремальных результатов при условии верной нулевой гипотезы. Значение 0,03 не означает «97 % за то, что эффект есть».
Четвёртая — многократные проверки. Если выполнить двадцать независимых тестов при α = 0,05, один из них в среднем окажется «значимым» случайно. Тогда нужны поправки на множественные сравнения.
Ограничения калькулятора
Расчёт выполняется для целого числа степеней свободы от 1 до 200 и t в диапазоне от −100 до 100. Критерий Уэлча даёт дробные ν, которые в калькулятор вводятся после округления вниз; это слегка консервативное приближение, но на практике разница небольшая.
Вычисление точное с точностью численного алгоритма неполной бета-функции, проверочные примеры сверены с независимой замкнутой формулой. Стоит помнить, что чувствительность к степеням свободы намного выше, чем к округлению t.
Калькулятор не проверяет предпосылки критерия: независимость наблюдений, приблизительную нормальность данных и однородность дисперсий. Если они нарушены, p-value даёт лишь формальную оценку.
Формула расчёта
F(t) = P(T ≤ t); p правостор. = 1 − F(t); p двустор. = 2 · (1 − F(|t|))
Проверенные примеры
По выборке из 11 наблюдений получено t = 2,228. Каков двусторонний p-value?
Степеней свободы ν = 11 − 1 = 10. Калькулятор даёт F(2,228) ≈ 0,974994. Тогда p = 2 · (1 − 0,974994) ≈ 0,05001, то есть значение t лежит на границе уровня 0,05.
При ν = 5 получено t = −2,5. Какова вероятность значения не выше −2,5?
Для отрицательного t результат калькулятора сразу даёт левый хвост: F(−2,5) ≈ 0,027245. Двусторонний p-value вдвое больше и составляет около 0,0545.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Найдите t-статистику вашего критерия и число степеней свободы: для одной выборки n − 1, для двух независимых выборок обычно n₁ + n₂ − 2.
- Введите t и степени свободы в поля калькулятора.
- Нажмите «Рассчитать» и по накопленной вероятности P получите p-value: 1 − P для правого хвоста, P для левого и 2 · (1 − P) при t ≥ 0 для двустороннего критерия.