Нулевая гипотеза и смысл p-value
Нулевая гипотеза утверждает, что интенсивность событий осталась такой же, как обычно, то есть число событий за период распределено по Пуассону со средним λ₀. Если при этом предположении столь большое число событий почти невозможно, у нас есть основание сомневаться в самой гипотезе.
p-value — это и есть мера «почти невозможно»: вероятность получить k и больше событий при верной H₀. Малое значение говорит, что данные плохо согласуются с нормой, но не отвечает, почему рост произошёл и насколько он важен практически.
Формула хвоста распределения
Вероятность ровно i событий равна e^(−λ₀)·λ₀ⁱ/i!. Хвост P(X ≥ k) проще считать через дополнение: из единицы вычитают сумму вероятностей для i от 0 до k − 1. При k = 0 хвост равен 1, поскольку «не менее нуля событий» бывает всегда.
Калькулятор использует точное численное вычисление этого хвоста, без нормального приближения. Это важно при малых λ₀, где распределение сильно скошено, а приближение даёт заметную ошибку именно в области малых вероятностей.
Пример: всплеск обращений в поддержку
Служба получает в среднем 3 обращения в день, в понедельник пришло 8. Вероятности для 0…7 обращений в сумме дают около 0,988095, поэтому P(X ≥ 8) = 0,011905, около 1,2%. При заранее выбранном α = 0,05 это достаточно редко, чтобы искать причину: релиз, рассылку или сбой.
Второй пример — брак. При обычных 4,5 дефектах на смену и десяти найденных p-value равен 0,017093. Но если подобных проверок сто, случайно «значимых» смен в среднем окажется несколько, поэтому одного такого результата для решения мало.
Как принять решение по найденному значению
Уровень значимости α выбирают до анализа: чаще 0,05, для дорогих последствий ложной тревоги — 0,01. Если p-value меньше α, нулевую гипотезу отвергают, если больше — говорят, что данных недостаточно для вывода о росте, а не что рост исключён.
Решение удобно дополнять практической оценкой: насколько k превышает λ₀ в абсолютных числах и во что обойдётся проверка причины. Небольшой, но «значимый» избыток при огромном потоке событий может быть неважным для бизнеса.
Помните и об обратной стороне: при малых λ₀ даже заметный рост числа событий, скажем с 1 до 3, нередко даёт p-value выше 0,05. Это не доказывает отсутствие роста, а лишь показывает, что наблюдений мало; чтобы увидеть небольшое изменение, нужно собрать данные за более длинный период.
Типичные ошибки и границы метода
Частая ошибка — сравнивать периоды разной длины: если λ₀ взята за месяц, а k посчитано за неделю, результат бессмыслен. Вторая ошибка — подбирать α после просмотра p-value, а третья — останавливать наблюдение в момент, когда значение случайно оказалось малым.
Модель Пуассона предполагает независимые события. Если обращения приходят пачками после одной рассылки, дисперсия больше среднего, и такой критерий будет слишком часто сигнализировать о «аномалиях» там, где их нет.
Формула расчёта
p = P(X ≥ k) = 1 − Σ e^(−λ₀)·λ₀ⁱ / i!, i = 0…k−1
Проверенные примеры
В норме приходит 3 обращения в день, а в один из дней пришло 8. Каков p-value превышения?
P(X ≥ 8) при λ₀ = 3 равно 0,011905, то есть около 1,2%. При α = 0,05 нулевая гипотеза о неизменной интенсивности отвергается.
Обычно за смену выявляют 4,5 дефекта, а в проверяемой смене нашли 10. Каков p-value?
P(X ≥ 10) при λ₀ = 4,5 равно 0,017093, около 1,7%. Результат ниже 5%, но если проверено много смен, поправка на множественные сравнения может изменить вывод.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Укажите λ₀ — обычное среднее число событий за тот же по длине период, что и наблюдение.
- Введите наблюдаемое число событий k.
- Нажмите «Вычислить» и сравните p-value с уровнем значимости α, выбранным до просмотра данных.