Что показывают дисперсия и стандартное отклонение
Дисперсия — это средний квадрат отклонения результатов от среднего. Она измеряется в квадратах исходных единиц, поэтому для периода в секундах получаются секунды в квадрате. Корень из неё, стандартное отклонение, снова измеряется в секундах и понятен интуитивно.
Малое отклонение означает, что замеры плотно кучкуются, а большое — что ошибки велики или условия опыта нестабильны. Если стандартное отклонение сравнимо с самим периодом, измерение выполнено слишком грубо.
Выборочная или генеральная оценка в лабораторной работе
Серия из нескольких замеров — это маленькая выборка из бесконечного множества возможных измерений. Среднее вычислено по тем же данным, поэтому отклонения от него занижены, и компенсировать это помогает деление на n − 1 вместо n.
Калькулятор выводит обе дисперсии. Для отчёта берите выборочную, а генеральная подходит, когда у вас действительно полный набор данных, а не оценка по части. С ростом числа замеров различие быстро исчезает.
Разбор примера с пятью замерами периода
Замеры: 1,52; 1,49; 1,55; 1,50; 1,53 с. Среднее равно 1,518 с, отклонения составляют +0,002, −0,028, +0,032, −0,018 и +0,012. Сумма квадратов равна 0,00228 с².
Выборочная дисперсия — 0,00228/4 = 0,00057 с², стандартное отклонение серии около 0,0239 с, генеральная дисперсия — 0,000456 с². Погрешность среднего равна 0,0239/√5 ≈ 0,0107 с, и результат записывают как T = 1,518 ± 0,011 с.
Как уменьшить случайную погрешность периода
Лучший приём — измерять время десяти-двадцати колебаний и делить на их число. Ошибка реакции остаётся прежней, но делится на число колебаний, и стандартное отклонение периода падает почти пропорционально.
Дополнительно удерживайте малую амплитуду, начинайте счёт при прохождении положения равновесия и повторяйте опыт. Помните, что среднее по n замерам точнее одного замера лишь в √n раз, поэтому удвоение точности требует вчетверо больше повторов.
Связь разброса периода с ускорением свободного падения
Для математического маятника T = 2π√(L/g), откуда g = 4π²L/T². Так как период стоит в знаменателе во второй степени, его относительная погрешность входит в оценку g с удвоенным весом.
В примере относительная погрешность среднего периода составляет около 0,7 %, значит g оценивается с точностью примерно 1,4 % без учёта погрешности длины. Сам калькулятор считает только разброс периода; систематическую ошибку секундомера и длины нити нужно оценивать отдельно.
Типичные ошибки при обработке серии измерений периода
Частая ошибка — измерять один период и записывать сразу пять значений подряд. Правильнее засечь время 20 колебаний, например 30,4 с, поделить на 20 и получить период 1,52 с; такой приём делит ошибку реакции на 20. Повторяйте процедуру, чтобы получить независимые замеры для расчёта разброса.
Не выбрасывайте «неудобные» значения без причины. Исключить замер можно только если известна конкретная ошибка, например секундомер нажат с запозданием. Для очень коротких серий дисперсия ненадёжна, поэтому лучше сделать не менее пяти-десяти замеров и округлять итоговую погрешность до одной-двух значащих цифр.
Наконец, записывайте не только итоговое число, но и условия опыта: длину нити, амплитуду, способ запуска секундомера. Тогда при повторе опыта вы сможете понять, вызван ли новый разброс случайностью или изменением условий, и честно отразить это в выводах лабораторного отчёта.
Формула расчёта
s² = Σ(Tᵢ − T̄)² / (n − 1); s = √s²
Проверенные примеры
Периоды в секундах: 1,52; 1,49; 1,55; 1,50; 1,53. Найти разброс.
Среднее 1,518 с. Выборочная дисперсия = 0,00057 с², стандартное отклонение серии s = √0,00057 ≈ 0,0239 с.
Периоды 1,50 и 1,54 с.
Среднее 1,52 с; выборочная дисперсия = 0,0008 с², генеральная = 0,0004 с², СКО генеральное = 0,02 с.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Измерьте период несколько раз: лучше засекать время 10–20 полных колебаний и делить его на число колебаний.
- Запишите все получившиеся значения периода в секундах через пробел в поле ввода.
- Нажмите «Вычислить» и прочитайте выборочную дисперсию, а также генеральную дисперсию и СКО.
- Для лабораторного отчёта возьмите корень из выборочной дисперсии и разделите на √n, чтобы получить погрешность среднего.