Огибающая затухающих колебаний
При вязком трении колебания описываются уравнением x(t) = A₀·e^(−βt)·cos(ωt + φ). Множитель A(t) = A₀·e^(−βt) задаёт огибающую — амплитуду, убывающую по экспоненте. Коэффициент β измеряется в обратных секундах и показывает скорость затухания: за время 1/β амплитуда уменьшается в e ≈ 2,718 раза.
Для груза массой m на пружине с силой сопротивления F = −r·v коэффициент затухания равен β = r/(2m). Модель справедлива при слабом затухании, когда β заметно меньше собственной круговой частоты ω₀, а период почти не меняется. При сильном затухании колебания вырождаются в апериодическое движение, и формула огибающей теряет смысл.
Как калькулятор находит амплитуду
Калькулятор решает дифференциальное уравнение первого порядка A′ = a·A + b. При b = 0 решение имеет вид A(t) = A₀·e^(a·t), поэтому для затухающих колебаний записывают a = −β и оставляют b равным нулю. Поле b присутствует потому, что та же операция описывает и другие процессы, и менять его в этой задаче не следует.
Например, начальная амплитуда 10 см, β = 0,25 1/с и время 8 с дают A = 10·e^(−2) ≈ 1,353 см, то есть 13,5 % от начальной. Если a = 0, затухания нет, и амплитуда остаётся прежней, а при t = 0 результат равен A₀. Единицы амплитуды сохраняются: сантиметры на входе — сантиметры на выходе.
Время уменьшения вдвое и затухание энергии
Амплитуда уменьшается вдвое за t½ = ln 2 / β. При β = 0,25 1/с это около 2,77 с. Если подставить такое время в калькулятор, получится ровно половина начального значения; это удобная проверка введённых данных. Через каждые t½ амплитуда делится пополам: после 2t½ остаётся четверть, после 3t½ — восьмая часть.
Энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому затухает быстрее: E(t) = E₀·e^(−2βt). В примере за 8 с энергия падает до e^(−4) ≈ 1,8 % от начальной, хотя амплитуда ещё составляет 13,5 %. Для оценки добротности используют Q ≈ ω₀/(2β): чем она выше, тем медленнее убывает амплитуда.
Как определить коэффициент β из опыта
Если в опыте измерены две амплитуды A₁ и A₂, разделённые временем t, то β = ln(A₁/A₂)/t. Можно также найти логарифмический декремент затухания Λ = β·T для периода T и вычислить β = Λ/T. Затем коэффициент вводят в калькулятор со знаком минус, чтобы предсказать амплитуду в любой другой момент.
Измерять лучше отдельные максимумы через несколько периодов, а не соседние: так меньше влияет погрешность отсчёта. Для маятников с малым затуханием достаточно нескольких десятков колебаний, а для быстро затухающих систем результат дают первые три–пять периодов.
Ограничения модели
Формула верна для линейного вязкого трения, пропорционального скорости. Сухое трение приводит к линейному, а не экспоненциальному убыванию амплитуды, а сопротивление воздуха при больших скоростях пропорционально квадрату скорости; в таких случаях калькулятор даёт лишь ориентир.
Расчёт даёт амплитуду огибающей, а не мгновенное смещение: положение тела в конкретный момент зависит ещё от фазы. Он годится для учебных задач и прикидок; для расчёта амортизаторов, мостов и других конструкций нужны полные динамические модели и нормативные проверки.
Формула расчёта
A(t) = A₀ · e^(−β·t), a = −β, b = 0
Проверенные примеры
Начальный размах колебаний 10 см, β = 0,25 1/с. Какой амплитуда станет через 8 с?
A = 10 · e^(−0,25 · 8) = 10 · e^(−2) ≈ 1,353 см, то есть 13,5 % от начальной; энергия снизится до e^(−4) ≈ 1,8 %.
β = 0,25 1/с. Через какое время амплитуда станет вдвое меньше?
t = ln 2 / β ≈ 0,6931 / 0,25 ≈ 2,77 с; подстановка 2,772588722 с даёт ровно половину начального значения.
A₀ = 12 см, β = 0,05 1/с, время 60 с.
A = 12 · e^(−3) ≈ 0,597 см.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите начальную амплитуду A₀ в любых единицах, например в сантиметрах или градусах.
- В поле a запишите коэффициент затухания со знаком минус: a = −β, 1/с.
- Оставьте b равным нулю и введите время t в секундах.
- Нажмите «Вычислить»: результат — амплитуда в тех же единицах, что A₀.