Амплитуды образуют геометрическую прогрессию
При вязком трении отношение двух соседних максимумов постоянно: A₁ = A₀/q, A₂ = A₀/q², и так далее. После n колебаний амплитуда равна Aₙ = A₀/qⁿ. Поэтому отношение начальной амплитуды к конечной равно k = A₀/Aₙ = qⁿ.
Это уравнение для n решается логарифмом: n = ln k / ln q. Основание логарифма безразлично, лишь бы оно было одним и тем же в числителе и знаменателе. Калькулятор считает результат как логарифм k по основанию q, поэтому q должно быть больше единицы.
Пример для маятника
Пусть каждый максимум в 1,05 раза меньше предыдущего, то есть амплитуда теряет около 4,8 % за колебание. Чтобы амплитуда уменьшилась вдвое, нужно n = ln 2 / ln 1,05 ≈ 14,21 колебания. Чтобы упала в 10 раз, потребуется 47,19 колебания.
При периоде 0,8 с затухание в 10 раз займёт примерно 47,19 · 0,8 ≈ 37,8 с. Если q увеличить до 1,1, то то же затухание в 10 раз произойдёт уже за 24,16 колебания: чем больше q, тем быстрее система успокаивается.
Связь с декрементом и добротностью
Натуральный логарифм q называют логарифмическим декрементом затухания: δ = ln q. Тогда формула принимает вид n = ln k / δ. Для q = 1,05 декремент равен 0,04879, и ему отвечает добротность Q ≈ π/δ ≈ 64,4, если затухание слабое.
Удобный ориентир — число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в e ≈ 2,718 раза: оно равно 1/δ, то есть около 20,5 колебания при q = 1,05. Чем выше добротность, тем больше колебаний совершает система до заметного затухания.
Как получить отношение q из измерений
Измерьте высоту двух соседних максимумов на осциллограмме или по линейке на видео и разделите предыдущий на следующий. Для надёжности усредните несколько пар или возьмите максимумы через m периодов: тогда q = (Aᵢ/Aᵢ₊ₘ)^(1/m), и ошибка отсчёта делится на m.
Амплитуды можно брать в любых единицах — сантиметрах, градусах, вольтах, — ведь в формулу входит только их отношение. Важно измерять отклонения от положения равновесия, а не размах от минимума до максимума, если в разных замерах положение равновесия смещается.
Как округлять результат
Результат — непрерывное число колебаний. Если нужно число полных максимумов, после которых амплитуда уже не больше заданной, округляйте вверх: при n = 14,21 это 15-й максимум. Для оценки времени умножайте непрерывное значение на период.
Для порога k = 1 получается нуль колебаний: амплитуда ещё не изменилась. Значение k меньше единицы означало бы рост амплитуды, поэтому калькулятор принимает k не меньше 1.
Границы применимости
Формула верна, когда отношение соседних максимумов остаётся постоянным. Это справедливо для вязкого трения при слабом затухании. При сухом трении амплитуда убывает на одно и то же число единиц за период, а при сопротивлении, пропорциональном квадрату скорости, затухание зависит от самой амплитуды.
Сильное затухание, когда система вообще не успевает совершить колебание, лежит за пределами модели. Расчёт не заменяет динамического анализа конструкций, амортизаторов и измерительных приборов.
Формула расчёта
n = ln k / ln q = log_q(k), k = A₀/Aₙ, q = Aᵢ/Aᵢ₊₁
Проверенные примеры
Каждый максимум в 1,05 раза меньше предыдущего. Через сколько колебаний амплитуда уменьшится вдвое?
n = ln 2 / ln 1,05 ≈ 0,6931 / 0,04879 ≈ 14,21 колебания.
Тот же маятник, q = 1,05, k = 10.
n = ln 10 / ln 1,05 ≈ 47,19 колебания. При периоде 0,8 с это около 37,8 с.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Измерьте амплитуды двух соседних максимумов и разделите большую на следующую: это q.
- Введите q в поле «отношение соседних максимумов».
- Введите k — во сколько раз амплитуда должна уменьшиться, например 2 или 10.
- Нажмите «Вычислить»: результат — число колебаний; для времени умножьте его на период.