Что сохраняется при ударе, а что нет
Пока на систему из двух тел не действуют внешние силы за время удара, суммарный импульс сохраняется всегда: сколько импульса потеряло одно тело, столько приобрело другое. Это верно и для упругого, и для абсолютно неупругого столкновения.
Кинетическая энергия ведёт себя иначе: при ударе часть её превращается в тепло, звук и остаточную деформацию. Сохраняется она только в идеально упругом столкновении, а в остальных случаях калькулятор показывает потерянную энергию в джоулях и в процентах от начальной.
Коэффициент восстановления и три вида удара
Коэффициент восстановления e — отношение скорости разлёта к скорости сближения вдоль линии удара. Для упругого удара e = 1, для абсолютно неупругого e = 0 и тела дальше движутся вместе, а у реальных материалов e лежит между ними: у стальных шаров около 0,9, у теннисного мяча около 0,7, у пластилина почти ноль.
Если нужный коэффициент неизвестен, выберите вариант «частично упругий» и подберите e по опыту: измерьте высоту отскока шарика от плиты, e равно корню из отношения высоты отскока к высоте падения. Вторая таблица результата показывает, как меняются скорости и потери при e от 1 до 0.
Косой удар на плоскости
В режиме «на плоскости» вы задаёте составляющие скоростей по осям x и y и направление линии центров — прямой, соединяющей центры тел в момент касания. Вдоль неё тела обмениваются импульсом по тем же формулам, что и в одномерном случае.
Составляющие скоростей, перпендикулярные линии центров, у гладких тел не меняются, ведь сила удара направлена строго по нормали. Поэтому после упругого удара равных шаров, один из которых покоился, они разлетаются под прямым углом, и калькулятор показывает направление каждого тела в градусах.
Куда уходит энергия и сколько проедет тело после удара
Потеря энергии при ударе равна (1 − e²)·μ·v²/2, где μ — приведённая масса, а v — скорость сближения вдоль линии центров. Она тем больше, чем сильнее различаются скорости до удара и чем меньше e, и не зависит от выбора неподвижной системы отсчёта.
Опция с трением переводит скорости после удара в путь торможения по шероховатой поверхности: s = v²/(2μg). Так оценивают, на какое расстояние отъедут тележки или вагоны после соударения, если известен коэффициент трения скольжения для их поверхностей.
Типичные ошибки в задачах на столкновения
Частая ошибка — путать знаки скоростей. В одномерном режиме скорость тела, движущегося навстречу, вводится со знаком минус, а тело 1 должно догонять тело 2, иначе удара не будет, и калькулятор сообщит об этом понятной ошибкой.
Вторая ошибка — применять модель там, где велики трение и вращение в момент контакта: удар шероховатых шаров, касательный удар клюшкой по шайбе или столкновение автомобилей с заносом. Для них результат калькулятора следует считать лишь оценкой.
Формула расчёта
v₁′ = v₁ − (1+e)·m₂/(m₁+m₂)·(v₁−v₂)ₙ, v₂′ = v₂ + (1+e)·m₁/(m₁+m₂)·(v₁−v₂)ₙ, ΔK = (1−e²)·μ·vₙ²/2
Проверенные примеры
Тележка 2 кг движется со скоростью 6 м/с и догоняет тележку 3 кг, едущую со скоростью 1 м/с. Удар частично упругий, e = 0,6.
После удара скорость первой тележки 1,20 м/с, второй 4,20 м/с. Энергия уменьшается с 37,50 до 27,90 Дж, потеряно 25,60 %.
Вагон 20 т едет со скоростью 18 км/ч и сцепляется с неподвижным вагоном 10 т (абсолютно неупругий удар).
Общая скорость 3,333 м/с, потеряно 83 333 Дж, то есть 33,33 % начальной энергии.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Выберите, где происходит удар: вдоль прямой или на плоскости.
- Задайте характер удара: упругий, абсолютно неупругий или частично упругий с вашим коэффициентом e.
- Введите массы и скорости тел в удобных единицах; при косом ударе укажите направление линии центров.
- Прочитайте скорости после удара и баланс энергии, сравните варианты в таблице по e; при необходимости включите опцию с трением.