Разложение скорости на составляющие
Начальную скорость v удобно разложить на горизонтальную vₓ = v·cos α и вертикальную v_y = v·sin α составляющие. Горизонтальная не меняется, потому что вдоль горизонта на тело ничего не действует. Вертикальная уменьшается на g каждую секунду: сначала тело замедляется при подъёме, в вершине вертикальная скорость равна нулю, затем нарастает вниз.
Такое разделение превращает сложную дугу в две простые задачи: равномерное движение и движение с постоянным ускорением. Все формулы калькулятора выводятся из этих двух уравнений без дополнительных предположений.
Три формулы и их вывод
Вершина достигается, когда v·sin α − g·t = 0, откуда время подъёма равно v·sin α / g. Полное время полёта вдвое больше: t = 2v·sin α / g. Наибольшая высота следует из средней вертикальной скорости на подъёме: H = (v·sin α)² / (2g).
Дальность — это горизонтальная скорость, умноженная на время полёта: L = v·cos α · 2v·sin α / g. По формуле двойного угла 2·sin α·cos α = sin 2α, откуда L = v²·sin 2α / g. Дальность растёт пропорционально квадрату скорости: увеличение скорости вдвое даёт дальность в четыре раза больше.
Числовой пример
Пусть v = 20 м/с, α = 45°, g = 9,81 м/с². Вертикальная составляющая равна 20·0,7071 ≈ 14,14 м/с. Время полёта: 2·14,14 / 9,81 ≈ 2,88 с. Высота: 14,14² / 19,62 ≈ 10,19 м. Дальность: 400·1 / 9,81 ≈ 40,77 м.
Эти значения легко проверить на здравый смысл: за 2,88 с при горизонтальной скорости 14,14 м/с тело пролетает 14,14·2,88 ≈ 40,8 м, что совпадает с формулой дальности. Подобная перекрёстная проверка помогает найти ошибку в единицах или в градусах и радианах.
Как угол влияет на траекторию
Наибольшая дальность достигается при 45°, где sin 2α равен единице. При углах, дающих в сумме 90°, дальности совпадают, но высоты различаются: крутая траектория выше и дольше, пологая — ниже и быстрее. Это используют, например, в артиллерии и спорте, когда нужно выбирать между навесным и настильным броском.
В крайних случаях формулы дают предсказуемый результат. При 90° дальность равна нулю, а тело поднимается на высоту v² / (2g) и возвращается к точке старта. При 0° и старте с земли тело сразу оказывается на поверхности, поэтому время и высота равны нулю.
Где модель перестаёт работать
Сопротивление воздуха растёт примерно как квадрат скорости и для лёгких или быстрых тел сильно сокращает дальность. Реальная траектория становится несимметричной: спуск круче подъёма, а наибольшая дальность достигается при угле меньше 45°. Калькулятор такие эффекты не учитывает и даёт верхнюю оценку.
Формулы также предполагают, что старт и посадка происходят на одной высоте, а g постоянно. Для броска с обрыва, с крыши или на склон потребуется решать квадратное уравнение для времени, и этот случай здесь не реализован. На больших расстояниях заметны кривизна Земли и изменение g с высотой.
Формула расчёта
t = 2v·sin α / g; H = (v·sin α)² / (2g); L = v²·sin 2α / g
Проверенные примеры
Мяч брошен со скоростью 20 м/с под углом 45° к горизонту, g = 9,81 м/с². Найдите время полёта, высоту и дальность.
Вертикальная составляющая скорости 20·sin 45° ≈ 14,14 м/с. Время t = 2·14,14 / 9,81 ≈ 2,883 с, высота H = 14,14² / (2·9,81) ≈ 10,19 м, дальность L = 400·sin 90° / 9,81 ≈ 40,77 м.
Сравните дальность при v = 30 м/с, g = 9,81 м/с² для углов 30° и 60°.
sin 60° = sin 120°, поэтому в обоих случаях L = 900·0,866 / 9,81 ≈ 79,45 м. Но при 60° тело поднимается выше (34,40 м против 11,47 м) и летит дольше (5,30 с против 3,06 с).
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите начальную скорость тела в метрах в секунду.
- Задайте угол броска к горизонту от 0 до 90 градусов.
- Укажите g из условия задачи и нажмите «Рассчитать».