Уравнение движения и его решение
По второму закону Ньютона m·dv/dt = m·g − c·v. Разделив на массу и обозначив k = c/m, получаем v′ = g − k·v. Это линейное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, его решение имеет вид v(t) = g/k + (v₀ − g/k)·e^(−k·t).
Величина g/k — предельная скорость, при которой сила сопротивления уравновешивает силу тяжести. Параметр 1/k задаёт характерное время: через интервал 1/k разность между текущей и предельной скоростью уменьшается в e ≈ 2,718 раза.
Разбор примера с k = 0,5 1/с
Для тела, падающего с покоя, при k = 0,5 1/с предельная скорость равна 9,81 / 0,5 = 19,62 м/с, а характерное время 2 с. Через 2 с скорость v = 19,62 · (1 − e⁻¹) ≈ 12,402 м/с, то есть около 63 % от предельной.
Если бросить тело вниз со скоростью 10 м/с, через 4 с получится 18,318 м/с: скорость растёт, но медленнее, чем в вакууме. А при старте с 30 м/с за 3 с она упадёт до 21,936 м/с, потому что исходная скорость выше предельной.
Как задать коэффициент k на практике
Коэффициент k равен отношению коэффициента вязкого сопротивления к массе тела. Для маленького шарика в жидкости его иногда находят из закона Стокса, но чаще определяют из опыта: измеряют установившуюся скорость v∞ и берут k = g / v∞.
В поле калькулятора вводится a = −k, поэтому знак минус обязателен. Если ввести положительное число, получится экспоненциальный рост, не имеющий отношения к падению. Время можно вводить любым, но единицы k и времени должны быть согласованы.
Когда линейное сопротивление не работает
При быстром движении в воздухе сопротивление растёт примерно как квадрат скорости, и характер выхода на предел меняется. Линейная модель пригодна для малых чисел Рейнольдса: мелкие капли, пыль, шарики в глицерине или масле.
Дополнительные силы — выталкивающая сила, присоединённая масса, зависимость плотности среды от высоты — в явном виде не входят. Их можно приближённо включить, заменив g на эффективное ускорение, но тогда результат остаётся оценкой.
Практическое применение и проверка результата
Модель удобна для задач о шариках, падающих в вязкой жидкости, и в учебных экспериментах по определению вязкости. Если записать скорости в несколько моментов времени, по ним можно подобрать k и проверить, насколько реальный опыт согласуется с экспоненциальным законом.
Для самопроверки убедитесь, что при t = 0 калькулятор возвращает начальную скорость, а при очень большом времени — значение g/k. Если результат превышает предел при старте с малой скорости, значит, перепутан знак коэффициента или единицы времени.
Помните, что результат относится к модулю скорости вниз при выбранном положительном направлении. Для тела, брошенного вверх, начальную скорость нужно вводить со знаком минус, и тогда решение корректно опишет торможение и последующее падение.
Формула расчёта
v(t) = g/k + (v₀ − g/k)·e^(−k·t)
Проверенные примеры
v₀ = 0, k = 0,5 1/с, g = 9,81 м/с², t = 2 с.
Предельная скорость g/k = 19,62 м/с. v(2) = 19,62 · (1 − e⁻¹) ≈ 12,402 м/с.
v₀ = 10 м/с, k = 0,5 1/с, t = 4 с.
v(4) = 19,62 + (10 − 19,62)·e⁻² ≈ 18,318 м/с.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите начальную скорость (0 для падения с покоя).
- В поле a введите −k, где k = c/m — отношение коэффициента сопротивления к массе.
- Укажите g и время падения в секундах.
- Нажмите «Вычислить» и сравните результат с предельной скоростью g/k.