Сложение скоростей как сложение векторов
Скорость — вектор, поэтому величины нельзя просто складывать. Скорость лодки относительно берега равна сумме вектора скорости лодки относительно воды и вектора скорости воды относительно берега. Это правило Галилея для перехода между системами отсчёта.
Для перпендикулярных векторов сумма имеет модуль v = √(v₁² + v₂²). Геометрически это гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого равны v₁ и v₂. Чем сильнее течение, тем сильнее вектор результирующей скорости отклоняется от перпендикуляра к берегу.
Разбор числового примера на реке шириной 120 метров
Пусть лодка развивает 4 м/с относительно воды, течение равно 3 м/с. Тогда v = √(16 + 9) = 5 м/с. Совпадение с «египетским» треугольником 3–4–5 удобно для самопроверки: калькулятор должен выдать ровно 5.
При ширине реки 120 м время переправы равно 120 / 4 = 30 с. За это время вода унесёт лодку на 3 · 30 = 90 м вниз по течению. Путь относительно берега составит 5 · 30 = 150 м, что согласуется с гипотенузой треугольника со сторонами 120 и 90 метров.
Типичные ошибки при решении задач про переправу
Самая частая ошибка — вычитать или складывать скорости арифметически, как при движении вдоль течения. Это верно только для коллинеарных векторов: по течению скорости складываются, против — вычитаются, а поперёк действует Пифагор.
Вторая ошибка — смешивать единицы: скорость лодки в км/ч, а течение в м/с. Третья — искать время переправы по результирующей скорости, делённой на ширину реки. Время определяется только составляющей поперёк потока, а результирующая скорость нужна для длины пути.
Где модель перпендикулярных скоростей перестаёт работать
Реальная река течёт неравномерно: у берега вода медленнее, на стрежне быстрее. Расчёт даёт среднюю оценку, а не точный маршрут. Ветер, волны и поворот руля тоже меняют фактический курс лодки.
Если шкипер хочет попасть в точку напротив места старта, он направляет нос лодки против течения под углом, и тогда составляющие перестают быть перпендикулярными. Для такой задачи нужна проекция скорости лодки на направление, противоположное течению.
Где пригодится расчёт и как использовать результат
Такой расчёт нужен в школьных олимпиадных задачах, при подготовке к экзамену по физике и при оценке маршрута на вёсельной или моторной лодке. Результирующая скорость показывает, с какой скоростью лодка действительно удаляется от места старта вдоль берега, а не только по воде.
Чтобы понять, насколько сильно лодку отнесёт, вычислите тангенс угла сноса: он равен отношению скорости течения к скорости лодки. Для пары 4 и 3 м/с это 0,75, то есть угол около 37° от перпендикуляра к берегу. Эти числа помогают заранее выбрать место причаливания.
Не забывайте, что модуль результирующей скорости всегда больше каждой из составляющих. Поэтому если калькулятор выдал число меньше скорости лодки, значит, одно из значений введено с ошибкой или перепутаны единицы измерения.
Формула расчёта
v = √(v₁² + v₂²)
Проверенные примеры
Лодка идёт поперёк реки со скоростью 4 м/с относительно воды, течение 3 м/с. Найдите скорость относительно берега.
v = √(4² + 3²) = √25 = 5 м/с. При ширине реки 120 м переправа займёт 30 с, снос составит 3 · 30 = 90 м, путь по прямой 150 м.
Вёсельная лодка 0,8 м/с, течение 0,6 м/с.
v = √(0,8² + 0,6²) = √1 = 1 м/с.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Введите скорость лодки относительно воды в метрах в секунду.
- Введите скорость течения реки в тех же единицах.
- Нажмите «Вычислить» и прочитайте гипотенузу — это скорость относительно берега.
- Для сноса умножьте скорость течения на время переправы, равное ширине реки, делённой на скорость лодки.