Откуда берётся экспонента
При ламинарном течении по тонкой трубке расход пропорционален перепаду давления, а перепад создаётся столбом жидкости: Q_исх = k·S·h. Изменение уровня определяется разностью притока и стока: S·h′ = Q_вх − k·S·h, или h′ = b − k·h, где b = Q_вх/S — скорость подъёма уровня от притока.
Решение этого уравнения — h(t) = h∞ + (h₀ − h∞)·e^(−kt) при h∞ = b/k. Уровень приближается к равновесному значению экспоненциально, с характерным временем 1/k. В калькуляторе используется та же форма уравнения h′ = a·h + b, где a = −k.
Как определить постоянную стока k
Проще всего измерить её в опыте без притока: уровень падает от h₁ до h₂ за время Δt, тогда k = ln(h₁/h₂)/Δt. У ламинарного стока значение k одинаково и в начале, и в конце опыта.
Если течение идёт по круглой трубке радиуса r и длины L, то по закону Хагена — Пуазёйля k = π·ρ·g·r⁴/(8·μ·L·S), где μ — динамическая вязкость жидкости, а S — площадь сечения бака. Видно, что радиус входит в четвёртой степени: уменьшение радиуса трубки вдвое замедляет опорожнение в 16 раз.
Пример без притока
Бак заполнен до 2 м, постоянная стока k = 0,01 1/с, притока нет. Через 100 с уровень h = 2·e^(−1) ≈ 0,7358 м, то есть 36,8 % от начального. Вдвое уровень падает за ln 2 / k ≈ 69,3 с, и это время не зависит от того, с какого уровня начинать.
Полностью бак при такой модели не опорожняется: уровень лишь стремится к нулю. На практике процесс заканчивается раньше, когда уровень приближается к высоте сливного патрубка.
Пример с притоком
Пусть в бак площадью 0,5 м² поступает 2 л/с, то есть 0,002 м³/с, значит b = 0,004 м/с. При k = 0,02 1/с равновесный уровень h∞ = 0,004/0,02 = 0,2 м. Если в начале уровень 0,5 м, то через 60 с h = 0,2 + 0,3·e^(−1,2) ≈ 0,2904 м: он быстро падает к равновесию.
Если стартовать с пустого бака, то при b = 0,01 м/с и k = 0,05 1/с равновесие 0,2 м, а через 20 с уровень равен 0,2·(1 − e^(−1)) ≈ 0,1264 м. За время 1/k уровень проходит около 63 % пути к равновесию.
Равновесие и время установления
Равновесный уровень зависит только от отношения b/k: удвоение притока удваивает уровень, а увеличение сопротивления слива уменьшает k и тоже поднимает уровень. Если h₀ = h∞, уровень не меняется.
За время 4/k отклонение от равновесия уменьшается до 1,8 % от начального, то есть практически выйти на равновесие система успевает за 4–5 характерных времён. Калькулятор принимает произведение k·t до 50, чего хватает для любых практических задач.
Границы применимости
Ламинарный режим в трубке сохраняется при небольших числах Рейнольдса, примерно до двух тысяч. Через короткое широкое отверстие жидкость вытекает со скоростью около √(2gh), расход растёт как корень из уровня, и экспонента не годится. Вязкость сильно зависит от температуры, поэтому k меняется при нагреве.
Модель не учитывает входные потери и переменное сечение бака. Расчёт учебный и не заменяет проектирования ёмкостей, систем перелива и аварийной защиты.
Формула расчёта
h(t) = h∞ + (h₀ − h∞)·e^(−k·t), h∞ = b/k, a = −k
Проверенные примеры
Начальный уровень 2 м, k = 0,01 1/с, притока нет. Какой уровень через 100 с?
h = 2 · e^(−1) ≈ 0,7358 м, то есть 36,8 % от начального; вдвое уровень падает за ln 2 / 0,01 ≈ 69,3 с.
Бак 0,5 м² с притоком 2 л/с (b = 0,004 м/с), k = 0,02 1/с, начальный уровень 0,5 м, время 60 с.
Равновесный уровень 0,004/0,02 = 0,2 м; h = 0,2 + 0,3 · e^(−1,2) ≈ 0,2904 м.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Определите постоянную стока k: по опыту без притока k = ln(h₁/h₂)/Δt либо по формуле для трубки.
- Введите начальный уровень h₀ в метрах и показатель a = −k со знаком минус в 1/с.
- Рассчитайте b как приток в м³/с, делённый на площадь бака в м², и введите; без притока впишите 0.
- Введите время t в секундах и нажмите «Вычислить»: результат — уровень в метрах.