Связь расхода и объёма: почему нужен интеграл
Объёмный расход Q — это скорость, с которой объём проходит через сечение: Q = dV/dt. Отсюда объём за промежуток времени равен интегралу V = ∫Q dt. Если расход постоянен, интеграл сводится к произведению Q·t, но при пуске насоса, закрытии задвижки или опорожнении бака расход меняется, и умножать на одно значение уже нельзя.
Единицы нужно согласовать: расход в литрах в секунду и время в секундах дают литры, расход в кубометрах в час и время в часах — кубометры. Калькулятор сам единицы не переводит, он интегрирует введённые числа, поэтому ответ всегда измеряется в единицах «расход × время».
Как работает правило Симпсона на равноотстоящих замерах
Правило Симпсона заменяет график на каждой паре интервалов параболой. Формула такова: V ≈ h/3 · [Q₀ + 4(Q₁ + Q₃ + …) + 2(Q₂ + Q₄ + …) + Qₙ], где h — шаг по времени. Замеры с нечётными номерами входят с весом 4, внутренние с чётными номерами — с весом 2, крайние — с весом 1. Метод точен для многочленов до третьей степени.
Из-за парных интервалов число точек обязано быть нечётным: 3, 5, 7 и далее. Шаг должен быть одинаковым, иначе калькулятор откажет в расчёте. Если замеры неравномерны, надёжнее воспользоваться методом трапеций, который допускает любые промежутки между точками, либо привести данные к равной сетке.
Разбор примера: пуск и остановка насоса
Пусть расход измерен каждые 10 с и составил 0, 4, 6, 5 и 2 л/с. Шаг h = 10 с, веса 1–4–2–4–1 дают 0 + 16 + 12 + 20 + 2 = 50, а объём равен 10/3 · 50 ≈ 166,7 л. Получается, что насос за 40 с перекачал немногим менее 167 литров.
Метод трапеций для тех же данных даёт 10 · (0/2 + 4 + 6 + 5 + 2/2) = 160 л, то есть на 4 % меньше. Различие заметно, потому что кривая расхода выпуклая; чем плавнее график и чем чаще замеры, тем ближе результаты. Для контроля прикиньте средний расход: около 4,2 л/с за 40 с — это те же примерно 167 литров.
От чего зависит точность и когда расчёту нельзя доверять
Погрешность правила Симпсона зависит от четвёртой производной расхода и уменьшается пропорционально четвёртой степени шага: для гладкой зависимости уменьшение шага вдвое сокращает ошибку примерно в 16 раз. Но реальная точность чаще определяется самим расходомером. Пульсации насоса, воздух в трубе и класс прибора дают ошибки в несколько процентов.
Резкие скачки — мгновенное открытие клапана или гидроудар — метод передаёт плохо, потому что парабола между точками ведёт себя нефизично. В таких случаях сократите шаг возле скачка или разбейте задачу на несколько участков с отдельными таблицами и сложите результаты вручную.
Где применяют расчёт и какие есть ограничения
Такой расчёт используют при наполнении ёмкостей, составлении водного баланса, поливе, лабораторных работах по гидравлике и проверке дозирующих насосов. Для коммерческого учёта, где объём влияет на оплату, применяют поверенные счётчики с накопительным показанием; калькулятор подходит для проверки и оценки, а не для замены измерительных приборов.
Если жидкость горячая, агрессивная или находится под давлением, работы с трубопроводом должен выполнять подготовленный персонал по действующим правилам. Расчёт объёма не определяет допустимое давление, прочность трубы и безопасность оборудования.
Формула расчёта
V ≈ h/3 · [Q₀ + 4(Q₁ + Q₃ + …) + 2(Q₂ + Q₄ + …) + Qₙ]
Проверенные примеры
Расход измерен каждые 10 с: 0; 4; 6; 5; 2 л/с. Найдите объём за 40 с.
h = 10 с; сумма с весами 1–4–2–4–1: 0 + 16 + 12 + 20 + 2 = 50; V = 10 / 3 · 50 ≈ 166,7 л. Трапеции дали бы 160 л.
Замеры в 0; 10; 20 с: 3; 3; 3 л/с.
V = 10 / 3 · (3 + 12 + 3) = 60 л, то есть 3 л/с за 20 с.
Q = t² л/с; замеры при t = 0; 1; 2; 3; 4 с.
V = 1 / 3 · (0 + 4 + 8 + 36 + 16) = 64 / 3 ≈ 21,33 л — точное значение интеграла, так как правило Симпсона точно для кубических функций.
Как пользоваться онлайн-калькулятором
- Запишите показания объёмного расхода Q в литрах в секунду через одинаковые промежутки времени.
- Введите моменты замеров в первое поле, а расходы — во второе; число значений должно быть нечётным, не меньше трёх.
- Нажмите «Вычислить»: основной результат — объём в литрах (единица расхода, умноженная на единицу времени).
- Для сравнения оцените объём как средний расход, умноженный на длительность.